山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.1定义与基本性质
9.1 定义与基本性质
加素理2大名 主要内容 内积 长度 夹角 ®度量矩阵
主要内容 内积 长度 度量矩阵 夹角
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、内积 1.定义 定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二 元实函数，如果它具有以下性质，则称为内积，记作(，B): 1)对称性 (x,B)=(β，a); 2)线性性 (ka,B)=k(a,B); 3)线性性 (a+β，Y)=(a,Y)+(β，y) 4)正定性 (a,x)≥0，当且仅当&=0时(x,c)=0
一、内积 1. 定义
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 这里C,B,Y是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性 空间V称为欧几里得空间，简称为欧氏空间. ·在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的. ·几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间
• 在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的. • 几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在线性空间Rm中，对于向量 年（见，2，.，日，年（日，2，.，日， 定义内积 (a,β)=a1b1+a2b2+.+anbn. (1) 显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，R”就成为一个 欧几里得空间.以后仍用R”来表示这个欧几里得空间. ·在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角 坐标系中的坐标表达式
ᵰ= (ᵰ1 , ᵰ2 , ⋯ , ᵰᵰ ) , ᵰ= (ᵰ1 , ᵰ2 , ⋯ , ᵰᵰ ) , 定义内积 欧几里得空间. 坐标系中的坐标表达式