山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.6 实对称矩阵的标准形
9.6 实对称矩阵的标准形
加求理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。实对称矩阵的性质 。主要结论 。正交矩阵的求法 。正交的线性替换
主要内容 实对称矩阵的性质 主要结论 正交矩阵的求法 正交的线性替换
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、实对称矩阵的性质 引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数
一 、实对称矩阵的性质 引理 1 设 𝐴 是实对称矩阵，则 𝐴 的特征值都是实数
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设A是实对称矩阵，在几维欧氏空间Rn上定义一个线 性变换凡： cA=Aa,a∈Rn 则几在标准正交基 10 e1= 2= 李 0:0 下的矩阵就是A·
• 设𝐴是实对称矩阵 ，在 𝑛 维欧氏空间 𝑅𝑛 上定义一个线 性变换 𝒜: 则 𝒜 在标准正交基 𝒜𝛼 = 𝐴𝛼, 𝛼 ∈ 𝑅 𝑛 下的矩阵就是 𝐴 . 𝜀1 = 1 0 ⋮ 0 , 𝜀2 = 0 1 ⋮ 0 , ⋯ , 𝜀𝑛 = 0 ⋮ 0 1
山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理2设A是实对称矩阵，几的定义如上，则对任意的 ,B∈Rn,有 (Aa,β)=(a,Aβ)， (1) 或 BT(Aa)=aTAB. 定义1 欧氏空间中满足等式(1)的线性变换称为对称变换 ·对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵
引理 2 设 𝐴 是实对称矩阵，𝒜 的定义如上，则对任意的 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 𝑛 , 有 (𝒜𝛼, 𝛽) = (𝛼, 𝒜𝛽) ， (1) 或 𝛽 𝑇 (𝐴𝛼) = 𝛼 𝑇𝐴𝛽 . 定义1 欧氏空间中满足等式(1)的线性变换称为对称变换. • 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵