山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.5 子 空 间
9.5 子 空 间
加东翟王大深 主要内容 。正交子空间 。正交补
主要内容 正交子空间 正交补
山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、正交子空间 定义1设V1,V2是欧氏空间V中两个子空问，如果对于 任意的Q∈V1,B∈V2,恒有(，β)=0，则称子空间 V1,V2为正交的，记为V1⊥V2.一个向量a∈V,如果对 于任意的B∈V,恒有(，)=0.则称向量与子空问 V1正交，记为口口V1
一、正交子空间 V1 正交，记为 ᵯ V1
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 若V1⊥V2,则对Ha∈V1,都有a⊥V2 零向量与任意的子空间正交 因为只有零向量与它自身正交，故若V1⊥V2,则 V1∩V2={0};因此V1+V2是直和. ·由a⊥V1,a∈V1可知a=0. 定理1如果V,V2,.,V两两正交，那么V1+V2+.+ 是直和
是直和. • 零向量与任意的子空间正交
山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、正交补 定义2子空问V,称为子空问V1的一个正交补，如果 V1⊥V2,并且V1+V2=V. 显然，如果V2是V1的正交补，那么V1也是V2的正交补。 定理2几维欧氏空间V的每一个子空间V1都有唯一的正交补 ·V1的正交补记为V. dimV+dimV=n
二、正交补