y=f(r) f(x)极小值 f(x)极大值 x0(极大值点) x1(极小值点) 极值的研究是微积分产生的主要动力之 2021-220
2021-2-20 6 x 0 x1 x y o y f (x) f (x0 )极大值 f (x1 )极小值 (极大值点) (极小值点 ) 极值的研究是微积分产生的主要动力之一
(二)费尔马定理(极值些墨条件) 设函数f(x)在点x0取得极值,并且 f(x)在点x可导,则必有 f'(x0)=0 注意1f(x0)=0是可导函数取得极值的 必要条件 注意2满足f(x0)=0的点x不一定是 函数f的一个极值点这种点称为 驻点 2021-2-20
2021-2-20 7 ( ) 0 ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f x x f x x 在点 可导 则必有 设函数 在点 取得极值 并且 （二）费尔马定理 (极值必要条件) . . [ 2] ( 0 ) 0 0 驻点 函数 的一个极值点 这种点称为 注意 满足 的点 不一定是 f f x x . [ 1] ( 0 ) 0 必要条件 注意 f x 是可导函数取得极值的
3 √′=3 y(0)=0 x=0不是极值点 驻点未必是极值点! 2021-2-20
2021-2-20 8 x y o 3 y x (0) 0 3 2 y y x x 0不是极值点 驻点未必是极值点！
证(只须证明:f(x)≤0且∫(xn)≥0 不妨设f(x)在点x处取得极大值 即在点x0的邻域(x0-δ,x+8)内有 f(x)≤f(x0) 考察(X0)f(x)-f(xn) △x x- f(x)-∫(x0) x<→ ≥0 f(x)-∫(x0) x>→ 0 2021-2-20
2021-2-20 9 [证] ( : ( ) 0 ( ) 0) 只须证明 f x0 且 f x0 ( ) . 不妨设f x 在点x0处取得极大值 ( ) ( ) 0 f x f x 即 在点x0的邻域 ( x0 , x0 )内,有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x f x f x x f x 考察 0 ( ) ( ) 0 0 0 x x f x f x x x 0 ( ) ( ) 0 0 0 x x f x f x x x
因为f(x0)存在,所以f(x0)和f(x) 都存在,并且有 f(o=f(ro=li f(x)-f(x0) ≥0 x→>x0 - f(o=f(o)=lim 0 x→X 0 f'(x0)=0 2021-2-20
2021-2-20 10 都存在 并且有 因为 存在 所以 和 , ( ) , ( ) ( ) 0 0 x0 f x f x f 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 x x f x f x f x f x x x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 x x f x f x f x f x x x ( ) 0 f x0