解因为Q(x)=x5+x4-5x3-2x2+4x-8 =(x-2)(x+2)2(x2-x+1). 所以R)=4+A+4 ,Bx+C x-2x+2(x+2)2x2-x+1 两边乘以Q(x),得到 2x4-x3+4x2+9x-10 =A(x+2)2(x2-x+1)+A(x-2)x+2)x2-x+1) +A,(x-2)(x2-x+1)+(Bx+C)(x-2)x+2)2. 前页
前页 后页 返回 = + − + + − + − + 2 2 2 0 1 A x x x A x x x x ( 2) ( 1) ( 2)( 2)( 1) = + − − + − 5 4 3 2 解 因为Q x x x x x x ( ) 5 2 4 8+ = + + + − + + − + 0 1 2 2 2 ( ) , 2 2 ( 2) 1 A A A Bx C R x x x x x x 所以 两边乘以Q x( ), 得到 ( 2)( 2) ( 1). 2 2 = x − x + x − x + 4 3 2 2 4 9 10 x x x x − + + − + − − + + + − + 2 2 2 A x x x Bx C x x ( 2)( 1) ( )( 2)( 2)
比较同次项系数，得到线性方程组 4+4+B=2 x4的系数 3A,-A+A,+2B+C=-1x3的系数 A-3A1-3A,-4B+2C=4x2的系数 4A1+3A2-8B-4C=9 x的系数 4A-4A1-2A2-8C=-10 常数项 解得A=1,A1=2,A,=-1,B=-1,C=1. 于是完成了Rx)的部分分式分解： R(x)=1+21 x-1 x-2x+2(x-2)2x2-x+1 前页 返回
前页 后页 返回 比较同次项系数, 得到线性方程组 4 0 1 3 0 1 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 2 3 2 1 3 3 4 2 4 4 3 8 4 9 4 4 2 8 10 A A B x A A A B C x A A A B C x A A B C x A A A C + + = − + + + = − − − − + = + − − = − − − = − 的系数 的系数 的系数 的系数 常数项 解得 1, 2, 1, 1, 1. A0 = A1 = A2 = − B = − C = . 1 1 ( 2) 1 2 2 2 1 ( ) 2 2 − + − − − − + + − = x x x x x x R x 于是完成了R(x) 的部分分式分解:
二、有理真分式的递推公式 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 式的不定积分之和： 04g0女m 下面解这两类积分 In|x-a|+C, k=1, dx 1 (1-k)(x-a+C, k>1. 前顶 返【
前页 后页 返回 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 d (i) ; ( )k x x a − 2 2 (ii) d ( 4 0). ( )k Lx M x p q x px q + − + + 二 、有理真分式的递推公式 1 ln | | , 1, d (i) 1 , 1. ( ) (1 )( ) k k x a C k x x a C k k x a − − + = = − + − − 下面解这两类积分. 式的不定积分之和：
而令1+号=g-片N-M-学则 nJ气， Lx+M w-y k=1时， ∫nf+r+c 前页 返回
前页 后页 返回 2 2 2 2 d d . ( ) ( ) k k t t L t N t r t r = + + + k = 1 , 时 2 2 d 1 arctan . t t C t r r r = + + 2 2 2 d d ( ) ( ) k k Lx M Lt N x t x px q t r + + = + + + 2 2 2 2 1 d ln( ) , 2 t t t r C t r = + + + (ii) , 2 p 令 t x = + 2 2 , , 4 2 p pL r q N M = − = − 则
k≥2时， loa咖20sdr+c 记ey则 -千 a-alszyu 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 d( ) 1 d . ( ) 2 ( ) 2(1 )( ) k k k t t r t C t r t r k t r − + = = + + + − + = + 2 2 d , ( ) k k t I t r 记 则+ − = + 2 2 2 2 2 2 1 ( ) d ( ) k k t r t I t r t r = − − + 2 2 2 2 2 1 1 1 d ( ) k k t I t r r t r k 2 , 时