《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3矩阵相似

注意：上述定理的逆命题不成立，即两矩阵的行列 式，迹，秩，特征多项式，特征值相同，两矩阵不一定 相似. 推论1若阶方阵与对角阵△= 相似，则2,22，.，2即是A的个特征值. 一般地，方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化

1 2 1 2 , 1 , , , . n n n A n                 推 若 阶方阵与对角阵 相似 则 即是 的 个特征值 论 一般地,方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化. . , , , , , : , 相似 式 迹 秩 特征多项式 特征值相同 两矩阵不一定 注意 上述定理的逆命题不成 立 即两矩阵的行列

二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵A可对角化的充要条件是A有 个线性无关的特征向量. 证明假设存在可逆阵P,使PAP=人为对角阵， 把P用其列向量表示为P=[p1,P2,.,Pn]. 由P-1AP=A,得AP=PA, 即AA,P]=[B,p.] m =[2P1,2p2,.,nPn]

证明 1 P, P AP ,  假设存在可逆阵 使  为对角阵 1 2 , , , . P P n   p p p  把 用其列向量表示为    . 5.3.2 n A A n 阶方阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特 定 征向量 理 二、方阵可对角化的条件 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p                       即 1 1 2 2 , , , . n n   p  p  p     , , 1      由P AP 得AP P

∴.A[p,P2,.,Pn]=[Ap1,Ap2,.,Apn] =[2p1,2P2,.,元nPn] 于是有p,=p:(i=1,2,.,m). 可见九，是A的特征值，而P的列向量p,就是 A的对应于特征值2，的特征向量. 又由于P可逆，所以P1,P2,.,Pn线性无关. 反之，由于A恰好有n个线性无关的特征向量，这n 个特征向量即可构成可逆矩阵P,使PAP=∧

1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , n n n n A p p p Ap Ap Ap  p  p  p                   ( 1,2, , ). A i i i 于是有 p   p i   n , . i i i A P p A   可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 的对应于特征值 的特征向量 1 2 , , , , . P n 又由于 可逆 所以p p  p 线性无关 1 , , , . A n n P P AP    反之 由于 恰好有 个线性无关的特征向量 这 个特征向量即可构成可逆矩阵 使

注意（由上述定理内容及证明可得到： (I)一个n阶方阵A是否可对角化归结为它是否有n个线 性无关的特征向量. (2)如果阶方阵A与对角矩阵A相似，则对角矩阵主对 角线上的元素就是A的特征值， (3)存在的可逆矩阵P的列向量恰好是该矩阵的n个线性 无关的特征向量， (4)可逆矩阵的列向量的排列顺序与对角阵的主对角线 上的元素的排列顺序一致，并且都不唯一

, . (4) 上的元素的排列顺序一致 并且都不唯一 可逆矩阵的列向量的排列顺序与对角阵的主对角线 . (3) 无关的特征向量 存在的可逆矩阵P的列向量恰好是该矩阵的n个线性 . (2) , 角线上的元素就是 的特征值 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似 则对角矩阵主对 A n A  注意(由上述定理内容及证明可得到): . (1) 性无关的特征向量 一个n阶方阵A是否可对角化归结为它 是否有n个线