第八章二重积分 tz z=f(x,y) 定积分概念回顾 f(5, §8.1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 设f(x,y)为定义在有界闭区域 D上的非负连续函数，求以曲面 X (537,） f(x,y)为顶，D为底的柱体的体积。 解：将区域D用任意一组曲线网分割成n个小区域：△o △o2,△o3,.,△on,△o,表第i个小区域的面积(i=1,2,.,n) 同时，这曲线网格也相应地将曲顶柱体分割成个以△o,为底
第八章 二重积分 定积分概念回顾 §8.1 二重积分的概念与性质 设 为定义在有界闭区域 上的非负连续函数，求以曲面 为顶， 为底的柱体的体积。 f x y ( , ) D f x y ( , ) D o x y z D z f x y = ( , ) ( , ) i i • ( , ) i i f i 一、二重积分的概念 解：将区域 用任意一组曲线网分割成 个小区域： ， 表第 个小区域的面积 同时，这曲线网格也相应地将曲顶柱体分割成 个以 为底 D n i i ( 1, 2, , ) i n = 1 2 3 , , , n n i
的小曲顶柱体△yi=1,2,.,n)。由于∫在D上连续，故 当每个△o,的直径都很小时，f(x,y)在△o,上的函数值都相 差无几，故取(5，n,)∈△o,则 △V≈f(5,7,)△o V=∑AW≈∑f5,n,)Ao i=1 令=maxd,(d,为△o,的直径)，如果元趋于零时，上述和 <i<n 式的极限存在，即有 1im∑f(5,n,)△o,eV 1→0 i=1
的小曲顶柱体 。由于 在 上连续，故 当每个 的直径都很小时， 在 上的函数值都相 差无几，故取 ，则 ( 1,2, , ) = V i n i f i f x y ( , ) D i ( , ) i i i ( , ) V f i i i i 1 1 ( , ) n n i i i i i i V V f = = = 令 ，如果 趋于零时，上述和 式的极限存在，即有 1 max (i i i i n d d = 为 的直径） 0 1 lim ( , ) n i i i i f V → =
2.二重积分的定义 定义设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界 函数，将闭区域任意分成n个小闭区域： △01，△02，.，△0m 其中△o既表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每 个小闭区域△o上任取一点（⑤n,),作乘积f5,)△o, 并作和∑f(5,n,)△o,如果当这些小闭区域直径的最大 值2趋于零时，和式的极限 m∑f5,n,)△o 2- i=1
2. 二重积分的定义 定义 设 是定义在有界闭区域 上的有界 函数,将闭区域任意分成n个小闭区域: 其中 既表示第i 个小闭区域,也表示它的面积,在每 个小闭区域 上任取一点 ,作乘积 , 并作和 .如果当这些小闭区域直径的最大 值 趋于零时,和式的极限 f (x, y) D 1 2 , , , n i i ( , ) i i ( , ) i i f i = n i i i i f 1 ( , ) = → n i i i i f 1 0 lim ( , )
存在，此极限与闭区域D的分法及点(5，n,)在△σ，上的 取法无关.则称函数在闭区域D上可积，此极限值称为 函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作f(x,ydo 即 ∬fxdo=m∑f5n,Ao 其中f(x,y)称为被积函数，f(x,y)do称为被积表达 式，do称为面积元素，x与y称为积分变量，D称为 积分区域，∑f(5,)△o,称为积分和
存在,此极限与闭区域 的分法及点 在 上的 取法无关.则称函数在闭区域 上可积,此极限值称为 函数 在闭区域 上的二重积分,记作 即 其中 称为被积函数, 称为被积表达 式, 称为面积元素, 与 称为积分变量, 称为 积分区域, 称为积分和. ( , ) i i i f (x, y) D f (x, y) D D f (x, y)d = D f (x, y)d = → n i i i i f 1 0 lim ( , ) f (x, y)d x y D 1 ( , ) n i i i i f = D d
关于二重积分定义的两点说明。 关于二重积分的几何意义的说明。 二、二重积分的性质 性质1设2，为常数，则 fm+gx加o=a+xaa 性质2若D=D,UD且D,公共内点，则 fxHo=∬fx,da+fx,da
关于二重积分定义的两点说明。 关于二重积分的几何意义的说明。 二、二重积分的性质 , + = + D D D [f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d 性质1 设 为常数,则 性质2 若 D D D = 1 2 ，且 D D1 2 , 无公共内点，则 = + 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d D D D f x y f x y f x y