减法：a-b=a+(-b)a+ba-b福0ac=a+(-b)=a-b特例:a+(-a)=0
a b a ( b) 减法： − = + − a b b − b − a b c a b = − = + (− ) c a b a b + a b − ( ) 0. 特例： a + −a =
(二)向量与数的乘法向量a与实数的乘积记作2a，规定2a是一个向量(1)>0,a与同向,=a(2) 元= 0,aa = 0(3)<0,aa与a反向,a=a20数与向量的乘积符合下列运算规律(1）结合律:a(ua)=u(aa)=(au)a(2）分配律:(a+μ)a=aa+uaa(a+b)=aa+ab
（二） 向量与数的乘法 向量 a 与实数 的乘积记作 a (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向，| a | | | | a | = a a 2 a 2 1 − 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a) = a = () （2）分配律： a a a ( + ) = + a b a b ( + ) = + ,规定 a 是一个向量.
四、向量的坐标(1)向量在轴上的投影设有两个非零向量α，β，任取空间一点0，作OA=α，OB=β，规定不超过元的LAOB（设Φ=AOB，0≤Φ≤元）称为向量Bα与β的夹角：B记作 Φ=(α,β)=(β,α)1(0 ≤β≤元)a类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与元之间任意取值
四、向量的坐标 （一） 向量在轴上的投影 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与之间任意取值. (0 ) 设有两个非零向量α，β，任取空间一 点O，作OA=α,OB=β，规定不超过π的 ∠AOB(设φ=∠AOB，O≤φ≤π)称为向量 α与β的夹角 . α β o A B 记作 = (, )= ( ,)
过点A作轴u的垂直平面，交点A即为点A在轴u上的投影设OM=aé，则数a称为向量r在Uu轴上的投影，记作Prj,域(r)uT设a=(ax，a,,a,),则ax = Pr ja, a, = Pr j,a, a, =Pr ja,或记作ax=(a)x, a,=(a),, a, =(a)z
• A ' A • . O u e 过点 作轴 的垂直平面，交点 即为点 在轴 上的投影. A ' A A u r u 设 ，则数 称为向量 在 轴上的投影，记作 或 . OM e = ' r j ru Pr u (r) 设 ( , , ), a = ax ay az 则 a Pr j a, x x = a Pr j a, z z ay Pr j y a, = = 或记作 ( ) , ax a x = ( ) , ay a y = ( ) . az a z = u
向量的投影具有下列性质：性质1（投影定理）向量AB在轴I上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦Prj,AB =ABIcos证Prj,AB = PrjrABBB"=I AB Icos @BA
向量AB在轴 l 上的投影等于向量的模乘 以轴与向量的夹角的余弦：Pr j lAB =| AB| cos 证 l A B A B B Pr j lAB = Pr j l'AB =| AB| cos l' 性质1 (投影定理) 向量的投影具有下列性质：