《泛函分析》第一讲#紧性
《泛函分析》 第一讲 紧性
确界原理单调有界定理111↑介聚点定理区问套定理↑↑柯西收敛准则有限覆盖定理
确界原理 单调有界定理 区间套定理 聚点定理 柯西收敛准则 有限覆盖定理
海涅-波雷尔（Heine-Borel有限覆盖定理设[a, b]是一个闭区问,H 为 [a, b]的一个开覆盖，则在H中必存在有限个开区间，它构成[a,b止的一个开覆盖.[[(][] [] ba
海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理 设 是一个闭区间， 为 的一个开 覆盖，则在 中必存在有限个开区间，它构成 上的一个开覆盖. [ , ] a b [ , ] a b [ , ] a b H H a b
定义1设X是度量空问，ACX.(1)集合A称为是紧的，若X中的任一开集族(B,:EA)覆盖A(即UB,A)时，其中存在有限个开集覆盖A：(2)集合A称为是相对紧的， 若 A 紧(3)集合EX称为A的 网, 若 LJO(x,ε) A.XEE（4）集合A称为是完全有界的，若Vg>0,X中存在由有限个元素构成的 A 的8网
定义1 设 X 是度量空间， A X . (2)集合 A 称为是相对紧的，若 A 紧. (3)集合 E X 称为 的 网，若 ( , ) . x E O x A A (4)集合 称为是完全有界的，若 中存在由有限个元素构成的 的 网. 0, A X A (1)集合 称为是紧的，若 中的任一开集族 覆盖 (即 )时，其中存在有限 个开集覆盖 . B : B A A X A A
在定义1(3)中，作为A的网的集合 E注意：#并没有要求EcA,对于一个集合来说，是否要求ECA并不改变其完全有界性，例1对于 X = [2,若 en = (0,,0,1,0,)A=(e, :n≥1), 则A 不是紧集.m± n, Ilem -e,ll= /2.证明：对于任何B, =o(en)) ，则 (B,n≥1) 是A的开覆盖若取 但其中不包含任何有限子族覆盖A
注意： 例1 对于 X l = 2 ，若 (0, ,0,1,0, ), n n e = A e n = n : 1 , 证明： 对于任何 m n , 2. m n e e − = 若取 ，则 是 的开覆盖. 1 , 2 B O e n n = B n n , 1 A 在定义1(3)中，作为 的 网的集合 ， 并没有要求 ,对于一个集合来说， 是否要求 并不改变其完全有界性. E A E A A E 则 不是紧集. A 但其中不包含任何有限子族覆盖 A