《泛函分析》第七讲闭图像定理
《泛函分析》 第七讲 闭图像定理
定义11）设X,Y是为任意点集，称XxY =((x,y):xeX,yeY)是X与的积集.若为某个映射，称集合G(T) = ((x, Ty) : x E X)c X ×Y为T的图像
定义 1 1) 设 是为任意点集，称 X Y x y x X y Y = ( , ) : , X Y, 是 x 与 y 的积集.若为某个映射，称集合 G T x Ty x X X Y ( ) ( , ) : = 为 T 的图像
2)若(X,P),(Y,P2)为度量空间，以p((xi, y),(x2, y2)) = p(x,x2) + p(y1, y2),V(xi,y),(x2, y2) E XxY为X×Y的度量函数，X×Y为度量空问称TX>Y为闭映射，若G(T)是 X×Y中 闭集
2) 若 为度量空间，以 ( 1 1 2 2 1 2 1 2 ) 1 1 2 2 ( , ),( , ) ( , ) ( , ), ( , ),( , ) x y x y x x y y x y x y X Y = + 1 2 ( , ),( , ) X Y 为 X Y 的度量函数， X Y 为度量空间. 称 T X Y : → 为闭映射，若 G T( ) 是 X Y 中 闭集
例 连续函数空间 C[a,b] 上的微分算子是闭算子,令M ={x EC[a,b]:x'eC[a,b], 这里x表示x 的导数，则M提C[a,b]的线性流行.定义Tx= x',VxE M.易见 T是从M 到C[a,b]的线性算子
例 连续函数空间 C a b , 上的微分算子是闭算子. 令 ，这里 表示 的导数，则 是 C a b , 的线性流行.定义 M x C a b x C a b = , : , x x M Tx x x M = , . 易见 T 是从 M 到 C a b , 的线性算子
设x,EM,n=1,2,.,使Xn →Xo,Txn →Yo即 xn一致收敛于xo,x,的导函数x一致收敛于y由数学分析可知，x= yo.则xo EM,且Txo = o. 即T是闭算子. 但是容易知道T不是有界的：
设 使 即 一致收敛于 ， 的导函数 一致收敛于 0 0 , . x x Tx y n n → → , 1,2, , x M n n = xn x0 xn xn 0 y . 由数学分析可知， 则 且 即 是闭算子. 但是容易知道 不是 有界的. 0 0 x y = . 0 x M , Tx y 0 0 = . T T