《泛函分析》第三讲有界线性算子
《泛函分析》 第三讲 有界线性算子
定义1设X，Y是线性赋范空问，T：X→Y是线性算子T称为是有界的，若对于X中的任一有界集A,T(A)是 Y中的有界集.注：1)有界算子与有界函数的区别有界函数是指在整个定义域中所取的值为有界的函数2)线性算子与线性函数的区别：线性函数是指f(x)=kx+b的所有函数
定义1 设 是线性赋范空间， 是线性算子. 称为是有界的，若对于 中的任一有界集 是 中的有界集. X Y, T X Y : → T X , A T A( ) Y 注： 1) 有界算子与有界函数的区别： 2) 线性算子与线性函数的区别： 有界函数是指在整个定义域中所取的值 为有界的函数. 线性函数是指 f x kx b ( ) = + 的所有函数
定理1设X,Y是线性赋范空间，T：X→Y是线性算子，则下列诸条件等价：1) T在禁一点 x连续；2)T在X上连续;3) T是有界算子;4) T在X的某一点的有界邻域内有界;特别地,T在X的单位球中有界.5) 存在α>0, 使得 Tx≤αlxl (VxX),若T=f是X上的线性泛函，且f≠0，则以上诸条件还等价于：6) N(f)=(xEX:f(x)=0)是 X中闭集;7)N(f)不在X中稠密
定理1 设 是线性赋范空间， 是线性算子， 则下列诸条件等价： X Y, T X Y : → 1) T 在某一点 x0 连续； 2) T 在 X 上连续； 3) T 是有界算子； 4) T 在 X 的某一点的有界邻域内有界； 特别地， T 在 X 的单位球中有界. 5) 存在 0, 使得 Tx x x X ( ). 若 是 上的线性泛函，且 ，则以上 诸条件还等价于： T f = X f 0 6) N f x X f x ( ) : ( ) 0 = = 是 X 中闭集； 7) N f ( ) 不在 X 中稠密
证明：(1)=(2). T在某一点Xo 连续, 即 Vxn →Xo,Txn →Txo若VEX为任一点，并且Jn→y,令 xn =yn-y+Xo,则 Xn →Xo.从而 Txn =T(yn -y+xo)→T(xo).T是线性的，故Tyn→Ty可得Tyn -Ty+Txo →Txo
证明： (1) (2). T 在某一点 x0 连续, 即 0 0 , . → → x x Tx Tx n n 若 y X 为任一点，并且 , y y n → 从而 0 0 ( ) ( ). Tx T y y x T x n n = − + → 令 x y y x n n = − + 0 , 则 0 . x x n → T 是线性的，故 Ty Ty Tx Tx n − + →0 0 可得 . Ty Ty n →
(2) => (3).反证法：若T不是有界的，则存在有界集 A CX ,T(A)在 Y中不是有界的.即Vn, 日x, EA, IlTx,ll ≥n.x不妨设Ilxnll≤M,取 yn=n1M则 ly/≤=,yn →0(n →0)In|Txnl/ ≥ /n →00(n →> 0)但 Tynll =1则 T 在x=0不是连续的， 与(2)矛盾
(2) (3). 反证法：若 T 不是有界的， 则存在有界集 A X ， T A( ) 在 Y 中不是有界的. 即 , , . n x A Tx n n n 不妨设 , x M n 取 y , n n x n = 则 , 0( ). n n M y y n n → → 但 1 ( ), Ty Tx n n n n n = → → 则 T 在x = 0不是连续的，与(2)矛盾