设M,(X,J1,z)、M,(x2,J2,z2)为空间两点过点M，M,分别作平行于坐标面的平面,形成一个六面体。d=MM|=?R7在直角△M,NM4Q及直角△M,PNPN中，使用勾股定理知y0d? =M,P2 +PN +NM,[
设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 x y z o • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定理 知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM 过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面, 形成一个 六面体
NR: M,P=x -xV0PN = y2 - yil,DD[NM2/ = 22 - z1],. d = /M,P +|PNI +|NM]M,M2)= /(x2 -x) +(y2 -y)+(z2 -z)空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为M(x,y,z)，O(0,0,0)d =OM = x? +y?+z?
, M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z o • M1 P N Q R •M2
二、向量的概念M向量：既有大小又有方向的量M向量表示：a或MM以M,为起点，M,为终点的有向线段向量的模：向量的大小.Ia|或IM,M,单位向量：模长为1的向量.a°或M,M零向量：模长为0的向量．0
二、向量的概念 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： M1 M2 a M1M2 模长为1的向量. M1M2 0 0 a 零向量：模长为0的向量. 0 | a | M1M2 向量的模：向量的大小. | | 单位向量： 或 或 或
自由向量：不考虑起点位置的向量相等向量：大小相等且方向相同的向量a向量平行方向相反或者方向相同的向量al/b零向量和任何向量都平行
自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 向量平行 方向相反或者方向相同的向量 a − a b a//b 零向量和任何向量都平行
三、向量的线性运算（一）向量的加减法加法：a+b=ca(1）平行四边形法则b(2）三角形法则a+b向量的加法符合下列运算规律a（1）交换律：a+b=b+a(2)结合律：a+b+=(a+b)+c=a+(b+)多个向量相加，可以按照三角形法则负向量：大小相等但方向相反的向量a-a
三、向量的线性运算 加法： a b c + = a b a a b a + b + (1) 平行四边形法则 (2) 三角形法则 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a. + = + （2）结合律： a b c a b c + + = ( + ) + a (b c). = + + 多个向量相加，可以按照三角形法则. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a a − （一） 向量的加减法