2.基本技巧 (1)利用对称性及重心公式简化计算 (2)利用积分与路径无关的等价条件; (3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧) (4)利用斯托克斯公式 (5)利用两类曲线积分的联系公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.计算1/=(x2+y+2)d其中为曲线 x-+ x+v+z=0 解:利用轮换对称性,有 y x ds ds d 利用重心公式知yds=yd=0(的重心在原点 (x2+y2+22)ds 3JT ds== a 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算 其中 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 x ds y ds z ds 2 2 2 = = 利用重心公式知 I (x y z )ds 3 2 2 2 2 = + + 3 3 4 = a z o y x (的重心在原点) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2计算=(x2-y)dx+(y2-xy,其中L是沿逆 时针方向以原点为中心,a为半径的上半圆周 解法1令P=x2-y,Q=y2-x,则 O aP 这说明积分与路径无关,故 x"-y)dr+(32x)dy B O AB dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, C o y B A x L 解法1 令 , , 2 2 P = x − y Q = y − x 则 这说明积分与路径无关, 故 I x y x y x y AB( )d ( )d 2 2 = − + − − = a a x d x 2 a 为半径的上半圆周. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法2添加辅助线段BA,它与L所围区域为D,则 L+Ba )dx+(12 x) y Ba (x-y)dx+(y-x)d D ∫dxdy-x2d B (利用格林公式) 思考: (1)若L改为顺时针方向如何计算下述积分 1=|,(x2-3y)dx+(y2-x)dy 2)若L同例2,如何计算下述积分 y+y)dx+2-x)dy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解法2 BA, 它与L所围区域为D, C o y B A x L = D 0 d xd y x y x y x y BA( )d ( )d 2 2 − − + − x x a a d 2 − − D (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分: = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 + y = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 1 3 3 3 2 = − a (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: + = − + − L BA I (x y)d x ( y x)d y 2 2 添加辅助线段 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束