《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第10章 曲线积分和曲面积分 Ch 10-5 对坐标的曲面积分

2.定义.设Z为光滑的有向曲面，在上定义了一个向量场 A=(P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,J,z)), 若对Z 的任意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在nlimZ[P(5i, ni, Si)(△S,) yz2-0i=1+Q(Si, ni,S)(△S,)zx + R(5i, Ni,Si)(△S;)xy]则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积分，或第二类曲面积分．记作Pdx( Pdyd z + Qd zd x+ Rdxdydy+dzRP,Q,R叫做被积函数；叫做积分曲面CO0000x机动目录上页下页返回结束

设  为光滑的有向曲面, 在  上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点,  = n i 1 Q i i i Si zx + ( , , )( ) 分,  Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数;  叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

[,Pdydz称为P在有向曲面Z上对 y,z的曲面积分;J,Qdzdx 称为Q 在有向曲面上对 z,x 的曲面积分;J,Rdxdy称为R 在有向曲面Z上对 x,的曲面积分.引例中，流过有向曲面乙的流体的流量为@=1((_ Pdydz +Qd zd x+ Rdxdy若记Z正侧的单位法向量为n=（cosα,cosβ,cos）今dS-ndS=(dydz, dzdx, dxdy)A=(P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z))则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式Oe00x机动自录上页下页返回结束

引例中, 流过有向曲面  的流体的流量为  Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;  Rd xd y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;   = Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 若记  正侧的单位法向量为 令 n = (cos , cos  , cos ) d S = nd S = (d yd z, d zd x, d xd y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy= J, A-ndS = J, A.ds3.性质k(1)若=UJ;,且Z,之间无公共内点,则i-1kJJ,A.dS -ZJ A.dsi=1(2)用>"表示≥的反向曲面,则Jl-A.dS--J, A.dsOe00x机动目录上页下页返回结束

3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 ˉ 表示  的反向曲面, 则  Ad S   i A d S  Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y  = A nd S  = Ad S 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、对坐标的曲面积分的计算法定理：设光滑曲面:z=z(x,y),(x,y)Dxy取上侧R(x,y,z)是Z上的连续函数,则, R(x,y,z)dxd y = JJ,R(x, y,z(x,y)) dxd yn证:((_ R(x,y,z)dxd y = limYR(5i, Ni, S)(△S,)xy1-0i=1:Z 取上侧, : (△S,)xy =(△o;)xySi = z(Si, ni)nZ R(5i, ni, z(5i, ni) (Ao)xy= lim1-→0i=1R(x, y, z(x,y))d xd yx1O0000?机动自录上页下页返回结束

三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是  上的连续函数, 则  R(x, y,z)d xd y ( , , )  = D x y R x y z(x, y) d xd y 证: 0 lim → =   = n i 1 i xy (S ) i xy ∵ 取上侧 = ( ) , ( , ) i i i  = z   0 lim → =   = n i 1 ( , , ) R i i i xy ( ) R x y z x,y x y Dxy ( , , ( ))d d  =  R(x, y,z)d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：如果积分曲面≥取下侧，则J, R(x, y,z)dxd y=-JJD R(x,y, z(x,y)dxd y若Z: x=x(y,z),(y,z)e Dyz,则有[J, P(x, ,z)d ydz =±JJDP(x(y,z),y,z)d ydz(前正后负）若Z: =(z,x),(z,x)EDz,则有-[J, Q(x, y,z)dzd x= ±JJDQ(x, y(z,x),z)dzdxZX(右正左负)Oe000x机动目录上页下页返回结束

• 若 则有  P(x, y,z)d ydz P( , y,z) Dyz  =  x(y,z) d y d z • 若 则有  Q(x, y,z)d z d x ( , , z )  =  Dzx Q x y(z, x) d z d x (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面  取下侧, 则  R(x, y,z)d xd y ( , , )  = − Dxy R x y z(x, y) d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束