《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）矩阵的秩

证明：矩阵的行秩=矩阵的列秩 定理2.4.1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列) 证：把Amx,按行分块，设Amxm= &2 (1)对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 2)用非零常数k乘以A的第行 回

证明：矩阵的行秩＝ 矩阵的列秩 定理2.4.1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 A m n 按行分块，设 1 2 m n m A         =       （1）对换矩阵A的两行   A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行

a1 A= ka =A, m 显然矩阵A的行向量组与A,的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， .A的行秩=A,的行秩， 即A的行秩不变

1 1 2 i kr i i m m A A k                   = ⎯⎯→ =                     显然矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩，  A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变

(3)非零常数k乘以第行后加到第行上 显然，A,中的行向量组 i 可以由A的行向量组线性表示 4:4. -→ =A, aj+ka; 而A的行向量组可以由 A中的行向量组线性表示。 因而两个向量组等价，既行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。 区回

（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 i i i kr j j i m m A A k                              = ⎯⎯→ =         +             显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 因而两个向量组等价，既行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变

Th2.4.2:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关系。 (列) (行) 举例说明 12 例3设矩阵 1 4= 6 列向量组有线性关系 a4=41+2a2-a3 矩阵A经过有限次初等变换得到B,则矩阵B的 列向量B,P2,B,B,间也有线性关系 B4=B1+2B2-B3

Th2.4.2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关系。 （列） （行） 举例说明 例3 设矩阵           = − 6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A 列向量组有线性关系 a4 = a1 + 2a2 − a3 矩阵A经过有限次初等变换得到B, 则矩阵B的 列向量 2 a 4 a3 a a1 , , , , 1  2  3  4 间也有线性关系  4 = 1 + 2 2 −  3

解：对矩阵A作初等变换如下 1 3 0 4- 0 2 5 2 -1 5 6 0 2 -6 -16 1 1 3 +3r2 1 1 1 3 0 2 0 -1 0 0 19 19 0 0 1 -1 1 1-2 1 0 3 0 2 0 0 1 0 2 001 0 0 返回

解:对矩阵A作初等变换如下           = − 6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A           − − − 0 6 16 4 0 2 1 5 1 1 3 0 r3 6r1 ～ − r3 3r2 ～ +           − − 0 0 19 19 0 2 1 5 1 1 3 0        − 19 1 3 r ～           − − 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 3 0 1 3 2 3 r 3r r ～ r − +           0 0 1 − 1 0 2 0 4 1 1 0 3 2 1 r2  ～           0 0 1 − 1 0 1 0 2 1 1 0 3