《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量

第五章相似矩阵与二次型 →基础解系：p=(1,)', ∴p=(1,1)'为属于特征值2的一个特征向量， 其全部特征向量为p1(k≠0)； 同理可求属于2，=4的一个特征向量为p,=(-1,1)', 其全部特征向量为p2(k≠0)

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 同理可求属于 = = − 4 ( 1 1) , 的一个特征向量为 p ，  ( 0). 其全部特征向量为kp2 k  0 ; 其全部特征向量为kp1 （k  ） 1  = 基础解系: (1 1) p ，  ， 1  = p (1, 1) 2 , 为属于特征值 的一个特征向量 1 2 1 1 1 1 x x   −   =      −   1 2 1 1 0 0 0 x x   −     =      即

第五章相似矩阵与二次型 求特征值与特征向量的步骤： 1.解A-2E=0求出的值，即求特征值； 2.对每一个几，求方程组 (A-λE)x=O 的基础解系， 即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量， n-R(A-2E个

第五章 相似矩阵与二次型 1. 0 , 解 A E − =   求出 的值 即求特征值； 2. , ( ) A E O x  − =  对每一个 求方程组 的基础解系， 求特征值与特征向量的步骤： n –R(A–λE)个 即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量

第五章相似矩阵与二次型 -1 例2求矩阵A= -4 3 0 的特征值和特征向量， 1 02 解 A的特征多项式为 -1-入 1 0 A-E到= -43-元 0 =(2-)1-2)2, 1 2- 0 所以A的特征值为1=2,2=3=1

第五章 相似矩阵与二次型 1 1 0 2 . 4 3 0 1 0 2 A   −   = −       例 求矩阵 的特征值和特征向量 解 2 1 1 0 4 3 0 (2 )(1 ) , 1 0 2 A A E       − − − = − − = − − − 的特征多项式为 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 =

第五章相似矩阵与二次型 当21=2时，解方程(A-2E)x=0.由 「-310 100 A-2E= -4 10 01 0 10 0000 0 得基础解系p1= 1 所以仰，(k≠0)是对应于兄=2的全部特征值

第五章 相似矩阵与二次型 3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A E ,     −     − = −             1 0 , 0 1 p     =       得基础解系 1 1 所以kp k( 0) 2 .  = 是对应于 的全部特征值 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

第五章相似矩阵与二次型 当2=23=1时，解方程(A-E)x=0.由 -2 0 0 1 A-E= -4 20- 01 1 01 00 0 -1 得基础解系 2= - 所以仰，(k≠0)是对应于，=人=1的全部特征值

第五章 相似矩阵与二次型 2 1 2 , 1 p   −   = −       得基础解系 2 2 3 所以kp k( 0) 1 .  = = 是对应于  的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 A E     −     − = −            