山东理工大学理学院备课纸 年月日 称代数式a1a2a8+a24341+a4242-a1a342-a2a2143-a14241为三阶行列式， 用符号表示为： an an a ++dndaddnda0-dusdada -da as as ass 当三阶行列式 au an a as asas 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 其中 b an ans a b as an a2b bs an as an b a as as b 三、n阶行列式与n元线性方程组 在这一章，我们要把这个结果推广到元线性方程组 a1+a2x2+.+anxn=b, a2x+a2232+.+a2nxn=b2, an+++am=b 的情形.为此，首先给出阶行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要 内容。 问题：如何定义n阶行列式？如何计算n阶行列式？ 第6页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 称代数式 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 为三阶行列式， 用符号表示为： 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = . 当三阶行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a d a a a a a a = 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 1 2 3 1 2 3 , , , d d d x x x d d d = = = 其中 1 12 13 11 1 13 11 12 1 1 2 22 23 2 21 2 23 3 21 22 2 3 32 33 31 3 33 31 32 3 , , b a a a b a a a b d b a a d a b a d a a b b a a a b a a a b = = = . 三、 n 阶行列式与 n 元线性方程组 在这一章，我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , 的情形. 为此，首先给出 n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要 内容. 问题： 如何定义 n 阶行列式 ？如何计算 n 阶行列式 ？ 第 6 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 $3”级行列式 一、n阶行列式的概念 在给出阶行列式的定义之前，先来观察一下二阶和三阶行列式的定义.我们有 anan (1) a21a2a2-a11a243+aa2s431+a1s421a2-a11a2sa32-aa21ag-a1302na31 (2) 从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而 每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这 符号是按什么原则决定的呢？在三阶行列式的展开式（②）中，项的一般形式可 以写成 3 其中，是1,2,3的一个排列.可以看出，当，是偶排列时.对应的项在 (2)中带有正号，当2，是奇排列时带有负号。 定义4n阶行列式 a21 a22 (4) 第7页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 n 级行列式 一、 n 阶行列式的概念 在给出 n 阶行列式的定义之前，先来观察一下二阶和三阶行列式的定义.我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − , (1) 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − (2) 从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而 每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这 符号是按什么原则决定的呢？在三阶行列式的展开式(2)中，项的一般形式可 以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时.对应的项在 (2)中带有正号，当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (4) 第 7 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 aah.a (5) 的代数和，这里，是1,2，n的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符 号：当，是偶排列时，（⑤）带有正号，当.是奇排列时，（⑤）带有负 号.这一定义可写成 aa.an a2 a =∑(-)waah.a (6) 这里∑表示对所有n阶排列求和。 定义表明，为了计算阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元 素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标 所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。 由定义看出，n阶行列式是由项组成的.简记为，· 注意一阶行列式与绝对值的区别. 二、特殊行列式 例1计算特殊行列式 %0.0 对角行列式 0a.0 . 00.a 第8页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 (5) 的代数和，这里 n j j j 1 2 是 1,2, ,n 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符 号；当 n j j j 1 2 是偶排列时，(5)带有正号，当 n j j j 1 2 是奇排列时，(5)带有负 号.这一定义可写成 = − n n n j j j j j nj j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) (6) 这里 n j j j 1 2 表示对所有 n 阶排列求和. 定义表明，为了计算 n 阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元 素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标 所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出， n 阶行列式是由 n! 项组成的. 简记为 ij n n a . 注意一阶行列式与绝对值的区别. 二、特殊行列式 例 1 计算特殊行列式 对角行列式 11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a a 第 8 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 a2.aw 上三角行列式 01 00.am a10.0 下三角行列式 4.0 dn a2.am 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积 特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的 值等于主对角线上元素的乘积 应当牢记，当行列式中元素是数时，行列式代表的是一个数. 三、行列式的等价定义 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起 来.事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般 地，n阶行列式中的项可以写成 aa2h.ah (7) 其中42n,2jn是两个n阶排列.利用排列的性质，不难证明，(T)的符号等 于 (-1) (8) 按（⑧）来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对 称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是 第9页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 上三角行列式 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 下三角行列式 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积. 特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的 值等于主对角线上元素的乘积. 应当牢记，当行列式中元素是数时，行列式代表的是一个数. 三、行列式的等价定义 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起 来. 事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般 地， n 阶行列式中的项可以写成 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 （7） 其中 n n i i i j j j 1 2 1 2 , 是两个 n 阶排列.利用排列的性质，不难证明，(7)的符号等 于 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n i i i + j j j − (8) 按(8)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对 称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是 第 9 页