第11页3)有界性有界函数一存在两个常数m和M,对任给xED成立m≤(x)≤M,称m是其下界,M是其上界等价定义：存在常数M>0，任给xED，成立x)≤M无界函数一任给常数M>0,至少存在一个xED.满足[/(x)I >M.注意：①函数是否有界与定义域有关；②有界函数的界不唯一；③无界函数不一定是无穷大函数，例如 y = x'sinx,xER和 y =x(3- sinx),xERAAX无但非无穷大函数无穷大函数
第 11 页 3)有界性 有界函数—存在两个常数 m 和 M, 对任给x ∈ D 成立 m ≤f(x ) ≤M, 称 m是其下界,M是其上界. 等价定义:存在常数M>0,任给x ∈ D ,成立 |f(x)| ≤ M. 无界函数—任给常数M>0,至少存在一个x ∈D,满足 |f(x)| > M. 注意: ① 函数是否有界与定义域有关; ②有界函数的 界不唯一; ③无界函数不一定是无穷大函数. 例如 y = x·sinx, x ∈ R 和 y = x(3- sinx), x ∈ R 无界但非无穷大函数 无穷大函数
第12页4)周期性 若存在常数T>0,使得对任意的xED,恒有f(x+T)=(x),则称T为f(x)的周期(通常取最小周期)f(x)周期T=元=2元元0元2元×说明：①并非每个周期函数都存在最小周期，例如[1,x为有理数Dirichlet 函数f(x)=10,x为无理数任何正有理数均为其周期T可a* 0;②f(x)的周期为T,则f(ax+b)的周期为③f(x)的周期T1;g(x)的周期T2(≠T)则f(x)土g(x)的周期为T,与T2的最小公倍数
第 12 页 4)周期性 若存在常数T >0,使得对任意的 x ∈D, 恒有 f(x + T) =f(x),则称T 为f (x )的周期 (通常取最小周期). ②f (x )的周期为 T,则f (ax+b )的周期为 , 0; T a a ③ f (x )的周期 T1 ; g (x )的周期 T2 ( ≠ T1), 则f (x ) ± g (x )的周期为 T1 与 T2的最小公倍数. 2 o x f x( ) 2 说明 : ①并非每个周期函数都存在最小周期 ,例如: x为有理数 x为无理数 周期 T = π Dirichlet 函数 1, ( ) 0, f x 任何正有理数均为其周期
第13页4.反函数与复合函数1)反函数设y=f(x)的定义域为D,值域为W=f(D),若对W中的任一 y=o,必在D中有唯一的xo,使f(xo)=Yo 则称W上确定了y=f(x)的反函数,记为 x=f-1(v),yEW. 称y =f(x),(xED,yEW)在D上是一一对应的.习惯上将y=f(x)的反函数写成y=f-1(x)的形式y=f(x)称为直接函数求反函数的步骤：先通过y=f(x)求出x关于y的表达式x=f-1(y);再把x = f-1(v)改写为y = f-1(x),(反函数的自变量为x);最后由y=f(x)的值域确定y=f-1(x)的定义域
第 13 页 4.反函数与复合函数 设 y = f (x) 的定义域为 D,值域为W = f (D),若对 W中的任一 y =y 0, 必在 D中有唯一的 x 0,使 f (x 0 ) =y0 , 则称 W上确定了y = f (x )的反函数,记为 x = f -1 (y), y ∈ W. 称y = f (x),(x ∈ D,y ∈ W) 在 D上是一一对应的. y = f (x )称为直接函数. 习惯上将y = f (x )的反函数写成 y = f -1 (x )的形式. 1)反函数 求反函数的步骤: 先通过y = f (x )求出 x关于y的表达式x = f -1 (y); 再把x = f -1 (y )改写为y = f -1 (x), (反函数的自变量为 x ); 最后由y = f (x )的值域确定y = f -1 (x )的定义域
第14页说明：①y=f(x)与x=f-1(y)的图像重合;②y=f(x)与 y=f-1(x)的图像关于y=x对称;ya y=f-'(x)1=XQ(b,a)y=f(x)P(a,b)1X③y=f(x)存在反函数的充分必要条件是f(x)一一对应,推论：（严格）单调函数必有反函数
第 14 页 说明: ① y = f (x) 与 x = f -1 (y) 的图像重合; ③ y =f (x )存在反函数的充分必要条件是 f (x )一一对应. 推论:(严格)单调函数必有反函数. y f ( x ) ( ) 1 y f x y x Q ( b, a ) Pab (,) x y o ② y = f (x ) 与 y = f -1 (x) 的图像关于 y = x 对称;
第15页2)复合函数(一复合映射的特例)设y=f(u)定义域为D1，u=g(x)定义域为D2且g(D2)CD1 ,则称 y=f[g(x)]为f(u)和g(x)的复合函数.称u为中间变量任意两个函数不一定能成为一个复合函数例如：J=arcsinu和u=2/1-x2可定义复合函数y=arcsin2/1-x2,D={x:≤|x≤1)y=arcsinu和u=2+x,(x>0)不能复合
第 15 页 设 y = f( u )定义域为 D1 , u = g (x) 定义域为 D2 , 且g (D 2) D1 ,则称 y = f [g (x)] 为 f( u) 和 g (x) 的 复合函数. 称 u为中间变量. 2)复合函数(—复合映射的特例 ) 例如 : y = arcsin u 和 可定义复合函数 2 u x 2 1 2 3 2 y xD x x arcsin 2 1 , : 1 任意两个函数不一定能成为一个复合函数 . y = arcsin u 和u = 2 +x, (x>0)不能复合