差商表 一阶 二阶差商 三阶差商 四阶差商 七f(x) 差商 xo f(xo) XoX X f(x) f[x0,x,X2] f[x1,x2] f[x0,x1,X2,X3] x2 fx) f[x1,x2,x3] f[x0,x1,X2,X3,x4] fx2,x3] X3 f(x;) f[x1,x2,3,x4] f[x2,X3,x4] x4 f(xa) x:.x.]
差商表 一阶 差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 k x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x ( ) k f x 0 f x( ) 2 f x( )1 f x( )3 f x( )4 f x( ) 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 3 4 f x x [ , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 234 f x x x [ , , ] 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ] 1 2 3 4 f x x x x [ , , , ] 0 1 2 3 4 f x x x x x [ , , , , ]
§4.4牛顿插值公式 Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数x)都需重新算过。 接下来我们要推导如下的牛顿插值公式： N(x)=a+a(x-x)+a(x-x)(x-x)+.+a,(x-x).(x-x-) 其中；=f[x0,x:]
§4.4 牛顿插值公式 Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 l i (x) 都需重新算过。 接下来我们要推导如下的牛顿插值公式： ( ) ( ) ( )( ) . ( ).( ) n = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 − 1 + + n − 0 − n−1 N x a a x x a x x x x a x x x x 其中ai = f [ x0 , ., xi ]
将差商公式改写： f(x)=f(xo)+(x-xo)f[x,xol f[x,xol=fxo,x]+(x-x)fIx,xo2xl . fK,xo,.,xn-l=f,.,xn+(x-n)fIx,xo,.,xnJ.n-① 将后面的式子依次代入前面的式子，则有： f(x)=f(xo)+fIxo,xl(x-xo)+fxo,x,x2I(x-xo)(x-x1)+. 边fo,xnl(x-o(x-xm-） +,o.,x).()(x-x) N,(x) R,(x)
( ) ( ) ( ) [ , ] 0 0 0 f x = f x + x − x f x x [ , ] [ , ] ( ) [ , , ] 0 0 1 1 0 1 f x x = f x x + x − x f x x x [ , , . , ] [ , . , ] ( ) [ , , . , ] 0 n 1 0 n n 0 n f x x x = f x x + x − x f x x x − 1 2 . . . . n−1 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) . f x = f x0 + f x0 x1 x − x0 + f x0 x1 x2 x − x0 x − x1 + [ , . , ]( ).( ) + x0 xn x − x0 x − xn−1 f [ , , . , ]( ).( )( ) x x0 xn x x0 x xn 1 x xn + f − − − − Nn (x) Rn (x) 将差商公式改写： 将后面的式子依次代入前面的式子，则有：
注：F由唯一性可知N,d)三Lx),只是算法不同，故其 余项也相同，即 nktim(e=5)muy (n+1)! 区间[a,b]内的任意 n+2个点 a.-x- n阶差商与n导数的关系： (),( n! 区间[a,b]内的任意 n+1个点
注： 由唯一性可知 Nn (x) Ln (x)， 只是算法不同，故其 余项也相同，即 ( ) ( 1)! ( ) [ , , . , ] ( ) 1 ( 1) 0 1 x n f f x x x x k x n n k + + + + = , ( , ) ! ( ) [ , . , ] min max ( ) 0 x x n f f x x n n = n阶差商与n阶导数的关系： = + = − n i k i x x x 0 1 ( ) ( ) 区间[a,b]内的任意 n+2个点 区间[a,b]内的任意 n+1个点
例1：已知 X 1 2 3 4 0 -5 -6 3 求满足以上插值条件的牛顿型插 重点内容： 解： 差商表中各数值 是如何计算得到 f(x) 阶差商 二阶 的？ 1 0 -5 2 -5 -1 3 1 -6 4 3 9 5
例1:已知 求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解: 1 2 3 4 0 -5 -6 3 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 2 3 4 0 -5 -6 3 -5 -1 9 2 5 1 x y ( )i f x i x 重点内容： 差商表中各数值 是如何计算得到 的？