⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节换元积分法 、第一类换元法 第二类换元法 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 返回
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、第一类换元法 定理1设f()具有原函数,=0x)可导,则有换元公式 ∫n1a(x)a(x)dx=∫f(m)dla 第一类换元公式(凑微分法) 注 解①在一般情况下: 设F()则∫f(a)=F(a)+C ②使用此公式的关键在于将 ∫g(x)化为Jn(x)(xlt 观察重点不同,所得结论不同
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、第一类换元法 定理1：设 f (u) 具有原函数， u = (x) 可导，则有换元公式 第一类换元公式（凑微分法） ( ) [ ( )] '( ) [ ( ) ] u x f x x dx f u du = = 注 解 ① 在一般情况下： 设 F'(u) = f (u) 则 f (u)du = F(u)+C ② 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 f[(x)]'(x)dx 观察重点不同，所得结论不同
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求 cos 2r 解 2cos 2x=cos 2x 2dx= cos 2x(2x),'dx I cosudu =sinu+C=sin 2x+C 例2求 3+2x 解: 3+2x2J3+2t‘(3+2r) dx L=3+2x -du==lnu+c 2 ln(3+2x)+C
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求 2cos 2xdx 解： 2cos2xdx cos2x 2dx cos2x (2x)'dx = = udu u C x C u x = = + = + = cos sin sin2 2 例2 求 dx x 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = dx x 3 + 2 解： 1 du u u x = + = 1 2 1 3 2 = ln u+C 2 1 ln( 3 2 ) . 2 1 = + x +C
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3求2xeth uEx 解:「2xe2dk=[e2 d(x)=edu=e"+C=e+C 例4求 x(1+2Inx 解: d(n x) x(1+2Ix) 1+2lx - d(1+2In x) 2J1+2Inx u=1+2Inx reJduslnutc=In(1+2In x)+C 2 2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 求 xe dx x 2 2 解： = xe dx = e d x = e du u u x x x 2 2 2 2 ( ) 2 e C e C u x = + = + 2 求 解： dx x x (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = u = 1+ 2ln x = du u 1 2 1 = ln u+C 2 1 ln(1 2ln ) . 2 1 = + x +C 例4 dx x x (1+ 2ln ) 1
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5求 ar 解:∫1=∫ 1+ arctan -+O 例6求,d +e 解: d x 1+e-e e b=dx-°d e 1+e 1+e (1+e) 十e =x-l(1+e2)+C
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 求 . 1 2 2 dx a x + 解： dx a x + 2 2 1 dx a a x + = 2 2 2 1 1 1 + = a x d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = + 例5 . 1 1 dx e x + 例6 求 解： dx e x 1+ 1 dx e e dx x x + = − 1 (1 ) 1 1 x x d e e dx + + = − x ln(1 e ) C. x = − + + dx e e e x x x + + − = 1 1