延安大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（经管类）第八章 参数估计

Dx=D/x)=1∑Dx=1 ES=E n-1>(x-X) n1x-(- n1B(x-02-x-) DX E n-1 ∑E(X1-) no S2是σ2的无偏估计

2 2 1 1 ( ) 1 n i i ES E X X n              2 1 1 1 n i i E X X n                2 2 1 1 ( ) 1 n i i E X n X n                2 2 1 1 1 1 1 n n DX D X DX i i n n n               2 1 2 2 1 1 n n n n n             2 2 1 1 1 1 n i i n E X E X n n           1 2 DX = n  ∴S 2是σ2的无偏估计

如果从总体中随机取出两个相互独立的样本 X1n1)及(X X2),则可以证 明 X 4+(+)s=(n=+(2-s n1+n2 分别是总体中μ和σ的无偏估计量。其中, x=∑x n-1之(xn1-X)

如果从总体中随机取出两个相互独立的样本 （ X11 , …,X1n1 ）及（X21 , …,X2n2），则可以证 明 分别是总体中μ和σ2的无偏估计量。其中， i 1 2，       2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 n S n S X n X n X S n n n n          2 2 1 1 1 1 ( ) 1 n n i i j i i j i j j i X X S X X n n        

(三)有效估计 对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个,而 且无偏性仅仅表明θ所有可能取的值按概率平均等 于日,可能它取的值大部分与0相差很大。为保证 θ的取值能集中与θ附近,自然要求日的方差越小 越好 设O=0(x1…Xn),=1,2分别是参数O的两个 无偏估计,若DO1<DO2,则称O比2有效

对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个，而 且无偏性仅仅表明θ所有可能取的值按概率平均等 于θ，可能它取的值大部分与θ相差很大。为保证 θ的取值能集中与θ附近，自然要求θ的方差越小 越好。 （三）有效估计       1 1 2 1 2 ( , , ), 1, 2 , , . i i X X i n D D           设  分别是参数 的两个 无偏估计 若 则称 比 有效

定义8.3设和θ都是0的无偏估计,若样本容量为 的方差小于8的方差,则称是比有效的估 计量。如果在θ的一切无偏估计量中,的方差达到 最小,则。称为θ的有效估计量。 实际上,样本平均数X是总体期望值μ的有效估计量。 由定义可知,一个无偏估计量取的值是在可能范 围内最密集于θ附近的

由定义可知，一个无偏估计量取的值是在可能范 围内最密集于 θ附近的。 定义8.3 设θ和θ’都是θ的无偏估计，若样本容量为 n, θ的方差小于θ’的方差，则称θ是比θ’有效的估 计量。如果在θ的一切无偏估计量中, θ的方差达到 最小，则θ称为θ的有效估计量。 实际上，样本平均数X是总体期望值μ的有效估计量

例2比较总体期望值μ的两个无偏估计的有效性 aX ∑ XX ≠0 解:E(X)=Dx=1a2 a EX EⅩ

例2 比较总体期望值μ的两个无偏估计的有效性。 1 1 n i i X X n    ' 1 1 n i i i n i i a X X a      1 0 n i i a          解： E X( )   1 2 DX n   μ ' 1 1 X n i i i n i i a E EX a       