第八节 随机事件的独立 性 两个事件的独立性 喝多个事件的独立性 独立性的性质及应用
第八节 随机事件的独立 性 两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的性质及应用
两事件的独立性 先看一个例子: 将一颗均匀骰子连掷两次, 设事件A表示“第二次掷出6点” 事件B表示“第一次掷出6点” 显然已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率, P(4|B)=P(),这时称事件A对事件B是独立的
显然 已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率, 一、两事件的独立性 事件A表示“第二次掷出6点” 事件B表示“第一次掷出6点” 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 P(A|B)= P(A)，这时称事件A对事件B是独立的
两事件的独立性 注意:如果事件A对事件B是独立的, 则事件B对事件A也是独立的 因为如果事件对事件B是独立的,即P(4B)=P(4) 则有P(AB)=P(4P(BA)=P(BP(4|B)可得P(BA=P(B) 因此随机事件的独立性是相互对称的性质,由此 定义如果两事件中任一事件的发生不影响另一事件的 概率,则称这两个事件是相互独立的,简称独立
一、两事件的独立性 注意：如果事件A对事件B是独立的， 则事件B对事件A也是独立的 因为 如果事件A对事件B是独立的， 即P(A|B)=P(A) 则有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 可得P(B|A)=P(B) 因此随机事件的独立性是相互对称的性质，由此 定义 如果两事件中任一事件的发生不影响另一事件的 概率，则称这两个事件是相互独立的，简称独立
P(AB)=P(ABP(B) 由乘法定理知,当事件A、B独立时,有 P(AB=P(A P(B) 定理1若两事件A、B独立,则有P(AB)=P(4)P(B)
由乘法定理知， P AB P A B P B ( ) = ( ) ( ) 当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 定理1 若两事件A、B独立，则有P(AB)= P(A) P(B)
性质2若两事件A、B独立,则A与B,A与B,A与B 也相互独立 证明仅证A与B独立 由全概率公式P(4)=P(4|B)P(B)+P(4|B)P(B) 若A,B相互独立则P(A|B)=P(4) P(4)=P(A4)P(B)+P(4B)P(B) 即P(4)1-P(B=P(4|B)P(B) 得P(4)=P(A|B)因此A与B独立
仅证A与 B 独立 性质2 若两事件A、B独立, 则 A与B, A与B, A与B 也相互独立. 证明 由全概率公式 P(A) = P(A| B)P(B)+ P(A| B)P(B) 若A,B相互独立,则P(A| B) = P(A) P(A) = P(A)P(B)+ P(A| B)P(B) 即P(A)[1− P(B)] = P(A| B)P(B) 得P(A) = P(A| B)， 因此A与 B 独立