第三章随机变量的数字特征 (一)基本内容 维随机变量的数学期望 定义1:设X是一离散型随机变量,其分布列为: X xI Pp(x1)p(x2)…p(x) 则随机变量X的数学期望为:E(x)=∑x八(x) 定义2:设X是一连续型随机变量,其分布密度为f(x) 则随机变量X的数学期望为E(x)=f(x)k
1 定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为： 则随机变量X 的数学期望为: X x1 p(x1 ) x2 p(xi) xi P p(x2 ) 设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x, 则随机变量X的数学期望为 一、一维随机变量的数学期望 定义2： 第三章 随机变量的数字特征 （一）基本内容
二、二维随机变量的数学期望 (1)设二维离散随机变量(X的联合概率函数为p(x,y),则 随机变量X及Y的数学期望分别定义如下: E(x)=∑∑xp(x,),E(y)=∑∑y以(x,y) 即:(x)∑xn1(x),E()=∑m( 假定级数是绝对收敛的 (2)设二维连续随机变量(X,的联合概率密度为f(x,y),则 随机变量X及Y的数学期望分别定义如下: E(x)=J。f(x,yxd,E()=上。y(,y)d 即:E(x)=」。可xk,E)=(地 假定积分是绝对收敛的
2 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： 即： 假定级数是绝对收敛的. 假定积分是绝对收敛的. 二、二维随机变量的数学期望 即：
维随机变量函数的数学期望 (1)设离散型随机变量X的概率分布为: 2 dn P(X=xi) P(xi)p(x2) p(n) 则定义随机变量函数Y=g(X)的数学期望为: EY=Eg(x)=∑(x)n(x) (2)若X为连续型随机变量,其概率密度为f(x)则定义随 机变量函数Y=g(X)数学期望为 EY=Eg(x)=g(x)r()dx
3 则定义随机变量函数 Y gX 的数学期望为： X x1 p(x1 ) x2 xn P(X xi) p(x2 ) p(xn ) （1）设离散型随机变量X 的概率分布为： 三、一维随机变量函数的数学期望 机变量函数Y gX 的数学期望为： （2）若X为连续型随机变量，其概率密度为 f x, 则定义随
四、二维随机变量的函数的数学期望 (1)设二维离散随机变量(X,)的联合概率函数为p(x,y),则 随机变量函数g(X,Y的数学期望如下: Eg(x,1)=∑∑(x,yp(x,y) 假定这个级数是绝对收敛的 (2)设二维连续随机变量(X,Y的联合概率密度为八x,y),则 随机变量g(X,Y)的数学期望如下 假定这个积分是绝对收敛的
4 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量g(X,Y)的数学期望如下： 假定这个级数是绝对收敛的. 假定这个积分是绝对收敛的. 四、二维随机变量的函数的数学期望
五、关于数学期望的定理 定理1E(a+bx)=a+bEX 推论(1)Ea=a (2) Ela+X=a+EX (3)E(6X)=bEX 定理2E(X+)=E(x)+E(y) 推论:E∑X∑Ex 定理3若X、Y独立,则有:E(XY)=E(x)() 推论若X,X2,…,X,相互独立,则E∏x|=IEX i=1
5 五、关于数学期望的定理 定理1 推论 （1） （2） （3） 定理2 推论： 定理3 若X、Y 独立，则有： 推论 若X1 , X 2 ,, X n相互独立，则