根据题意， P(A)=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.7, P(A)=1-0.9=0.1,P(A)=1-0.8=0.2,P(A3)=1-0.7=0.3。 在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率为： P(A A A)+P(AAA)+P(AA A)+P(AAA) P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A) =0.9×0.8×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.902。 1.25这是一个p=0.7的独立试验序列。5次投篮恰投中k次的概率为 P{5次投篮恰投中k次}=C×0.7×0.3-,(k=0,1,2,…,5)。 所以，五次投篮至少投中两次的概率为 P{至少投中两次}=1-P{最多投中一次}=1-P{投中0次}-P{投中1次} =1-C×0.7°×0.35-C×0.7×0.34=1-0.00243-0.02835=0.96922。 1.26这是一个p=0.05的独立试验序列。检验n=50个产品，恰发现k个次品的概率为 P{50次检验恰发现k个次品}=C。×0.05×0.9550-,(k=0,1,2,…,50)。 所求的认为该批产品合格的概率等于 P{发现次品不多于一个}=P{发现0个次品}+P{发现1个次品} =C0×0.05°×0.950+C50×0.05×0.9549≈0.0769+0.2025=0.2794。 1.27这是一个p=0.004的独立试验序列。n支枪同时射击，没有一支击中飞机的概率为 P{n支枪击中飞机0次}=C%p°(1-p)”=(1-p)”=(1-0.004)”=0.996”, 至少击中飞机一次的概率为 P{n支枪至少击中一次}=1-P{n支枪击中飞机0次}=1-0.996”。 (1)P{250支枪至少击中一次}=1-0.996250≈0.63286： (2)设需要n支枪同时进行射击。要求至少击中一次飞机的概率大于99%，即 P{n支枪至少击中一次}=1-0.996”≥0.99， 42
４２ 根据题意， P(A1 ) = 0.9 ， P(A2 ) = 0.8 ， P(A3 ) = 0.7 ， P(A1 ) =1− 0.9 = 0.1， P(A2 ) =1−0.8 = 0.2， P(A3 ) =1− 0.7 = 0.3 。 在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率为： ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P A1 P A2 P A3 + P A1 P A2 P A3 + P A1 P A2 P A3 + P A1 P A2 P A3 = 0.90.80.7 + 0.10.80.7 + 0.90.20.7 + 0.90.80.3 = 0.902 。 1.25 这是一个 p = 0.7 的独立试验序列。5 次投篮恰投中 k 次的概率为 P {5 次投篮恰投中 k 次}= k k k C − 5 5 0.7 0.3 ，（ k =0，1，2，…，5）。 所以，五次投篮至少投中两次的概率为 P {至少投中两次}= 1− P{ 最多投中一次}= 1− P{ 投中 0 次} − P{ 投中 1 次} 1 0.7 0.3 0.7 0.3 1 0.00243 0.02835 0.96922 1 1 4 5 0 0 5 = − C5 − C = − − = 。 1.26 这是一个 p = 0.05 的独立试验序列。检验 n = 50 个产品，恰发现 k 个次品的概率为 P {50 次检验恰发现 k 个次品}= k k k C − 50 50 0.05 0.95 ，（ k =0，1，2，…，50）。 所求的认为该批产品合格的概率等于 P {发现次品不多于一个}= P{ 发现 0 个次品} + P{ 发现 1 个次品 } 1 1 49 50 0 0 50 50 = C 0.05 0.95 + C 0.05 0.95 0.0769+ 0.2025 = 0.2794 。 1.27 这是一个 p = 0.004 的独立试验序列。 n 支枪同时射击，没有一支击中飞机的概率为 P{ n 支枪击中飞机 0 次 } = n n n Cn p (1 p) (1 p) (1 0.004) 0 0 − = − = − n = 0.996 ， 至少击中飞机一次的概率为 P{ n 支枪至少击中一次 } = 1− P{ n 支枪击中飞机 0 次 } = n 1− 0.996 。 （1） P {250 支枪至少击中一次} 1 0.996 0.63286 250 = − ； （2）设需要 n 支枪同时进行射击。要求至少击中一次飞机的概率大于 99%，即 P { n 支枪至少击中一次}= 1− 0.996 0.99 n
即要有0.996”≤0.01，由此可得到n≥bgo9960.01≈1149。所以，至少需要1149支枪同 时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机。 1.28记A={恰有i人同时击中飞机}（i=0,1,2,3),各人击中飞机的事件是相互独立的， 这可以看作是一个p=0.4的独立试验序列。 P(A)=P{3人中恰有i人击中飞机}=C3×0.4×0.6,(i=0,1,2,3)。 即有 P(A)=C9×0.4°×0.63=0.216， P(A1)=C×0.4×0.62=0.432, P(A2)=C3×0.42×0.6=0.288, P(A3)=C3×0.43×0.6°=0.064. 又记B=飞机被击落；。根据题意，P(BA)=0,P(BA1)=0.2,P(BA2)=0.6, P(BA3)=1。 由全概率公式，可得到所求飞机被击落的概率为： P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)+P(A)P(BA)+P(A )P(BA) =0.216×0+0.432×0.2+0.288×0.6+0.064×1=0.3232。 43
４３ 即要有 0.996 0.01 n ，由此可得到 n log 0.996 0.01 1149 。所以，至少需要 1149 支枪同 时进行射击，才能以 99%以上的概率保证至少击中一次飞机。 1.28 记 Ai = {恰有 i 人同时击中飞机}（ i = 0, 1,2, 3 ），各人击中飞机的事件是相互独立的， 这可以看作是一个 p = 0.4 的独立试验序列。 P(A ) P{ i = 3 人中恰有 i 人击中飞机 i i i C − = 3 } 3 0.4 0.6 ，（ i = 0, 1,2, 3 ）。 即有 ( ) 0.4 0.6 0.216 0 0 3 P A0 = C3 = ， ( ) 0.4 0.6 0.432 1 1 2 P A1 = C3 = ， ( ) 0.4 0.6 0.288 2 2 1 P A2 = C3 = ， ( ) 0.4 0.6 0.064 3 3 0 P A3 = C3 = 。 又记 B = {飞机被击落}。根据题意， P(B A0 ) = 0， P(B A1 ) = 0.2， P(B A2 ) = 0.6 ， P(B A3 ) =1。 由全概率公式，可得到所求飞机被击落的概率为： P(B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P A0 P B A0 + P A1 P B A1 + P A2 P B A2 + P A3 P B A3 = 0.2160+ 0.4320.2+ 0.2880.6+ 0.0641= 0.3232
习题二 2.1从装有4个黑球，8个白球和2个黄球的箱子中，随机地取出2个球，假定每取出1个 黑球得2分，而每取出1个白球失1分，每取出1个黄球既不得分也不失分。以5表示我们 得到的分数，求5的概率分布。 2.2口袋中有5个球，分别标有号码1,2,3,4,5，现从这口袋中任取3个球。 (1)设5是取出球中号码的最大值，求5的概率分布，并求出≤4的概率： (2)设η是取出球中号码的最小值，求η的概率分布，并求出7>3的概率。 2310个灯泡中有2个坏的，从中任取3个，设5是取出3个灯泡中好灯泡的个数。 (1)写出5的概率分布和分布函数。 (2)求所取的3个灯泡中至少有2个好灯泡的概率。 2.4某种电子产品中，合格品占3/4，不合格品占1/4，现在对这批产品随机抽取，逐个测 试，设第次才首次测到合格品，求5的概率分布。 2.5己知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保 证有99%的把握获得一个就业机会？ 2.6己知1000个产品中有100个废品。从中任意抽取3个，设为取到的废品数。 (1)求5的概率分布，并计算5=1的概率。 (2)由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有 放回地任意抽取3次”，每次取到废品的概率都是01，因此取到的废品数服从二项分布。试 按照这一假设，重新求5的概率分布，并计算ξ=1的概率。 2.7一个保险公司推销员把保险单卖给5个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。根据保 险统计表，这类成年人中的每一个人未来能活30年的概率是23。求： (1)5个人都能活30年的概率： (2)至少3个人都能活30年的概率： (3)仅2个人都能活30年的概率： (4)至少1个人都能活30年的概率。 44
４４ 习题二 2.1 从装有 4 个黑球，8 个白球和 2 个黄球的箱子中，随机地取出 2 个球，假定每取出 1 个 黑球得 2 分，而每取出 1 个白球失 1 分，每取出 1 个黄球既不得分也不失分。以 表示我们 得到的分数，求 的概率分布。 2.2 口袋中有 5 个球，分别标有号码 1，2，3，4，5，现从这口袋中任取 3 个球。 （1）设 是取出球中号码的最大值，求 的概率分布，并求出 4 的概率； （2）设 是取出球中号码的最小值，求 的概率分布，并求出 3 的概率。 2.3 10 个灯泡中有 2 个坏的，从中任取 3 个，设 是取出 3 个灯泡中好灯泡的个数。 （1）写出 的概率分布和分布函数。 （2）求所取的 3 个灯泡中至少有 2 个好灯泡的概率。 2.4 某种电子产品中，合格品占 3 4 ，不合格品占 1 4 ，现在对这批产品随机抽取，逐个测 试，设第 次才首次测到合格品，求 的概率分布。 2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是 0.4，问他预计最多求职多少次，就能保 证有 99%的把握获得一个就业机会？ 2.6 已知 1000 个产品中有 100 个废品。从中任意抽取 3 个，设 为取到的废品数。 （1）求 的概率分布，并计算 =1 的概率。 （2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有 放回地任意抽取 3 次”，每次取到废品的概率都是 0.1，因此取到的废品数服从二项分布。试 按照这一假设，重新求 的概率分布，并计算 =1 的概率。 2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给 5 个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。根据保 险统计表，这类成年人中的每一个人未来能活 30 年的概率是 2/3。求： （1）5 个人都能活 30 年的概率； （2）至少 3 个人都能活 30 年的概率； （3）仅 2 个人都能活 30 年的概率； （4）至少 1 个人都能活 30 年的概率
2.8一张答卷上有5道选择题，每道题列出了3个可能的答案，其中有一个答案是正确的。 某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？ 2,9设随机变量5、n都服从二项分布，~b(2,p),7~b(3,p)。已知P5≥1}=三 试求P{n≥1}的值。 2.10设在某条公路上每天发生事故的次数服从参数入=3的普阿松分布。 (1)试求某天出现了3次或更多次事故的概率。 (2)假定这天至少出了一次事故，在此条件下重做(1)题。 2.11某商店出售某种商品，据以往经验，月销售量服从普阿松分布P(3)。问在月初进货时 要库存多少此种商品，才能以99%的概率充分满足顾客的需要。 2.12考虑函数 C(2x-x3)0<x<2/5 p(x)= 0 其他 能否作为随机变量的概率密度？如果能，试求出常数C的值。 2.13己知随机变量飞的概率密度为 Ax 0<x<1 p(x)= 0 其他 求：(1)系数A:(2)概率P{5≤0.5}：(3)随机变量5的分布函数。 2.14已知随机变量5的概率密度为p(x)=Ae,(-0<x<+o)。求： (1)系数A:(2)随机变量5落在区间(0,1)内的概率：(3)随机变量5的分布函数。 2.15函数F(x)= 1+X是否是连续型随机变量5的分布函数，如果5的可能值充满区间 (1)(-0,+0):(2)(-0,0). 2.16设连续型变量的分布函数为： 45
４５ 2.8 一张答卷上有 5 道选择题，每道题列出了 3 个可能的答案，其中有一个答案是正确的。 某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ 2.9 设随机变量 、 都服从二项分布， ～b(2, p) ， ～ b(3, p) 。已知 9 5 P{ 1} = ， 试求 P{ 1} 的值。 2.10 设在某条公路上每天发生事故的次数服从参数 = 3 的普阿松分布。 （1）试求某天出现了 3 次或更多次事故的概率。 （2）假定这天至少出了一次事故，在此条件下重做（1）题。 2.11 某商店出售某种商品，据以往经验，月销售量服从普阿松分布 P(3) 。问在月初进货时 要库存多少此种商品，才能以 99%的概率充分满足顾客的需要。 2.12 考虑函数 − = 0 其他 (2 ) 0 2 / 5 ( ) 3 C x x x x 能否作为随机变量的概率密度？如果能，试求出常数 C 的值。 2.13 已知随机变量 的概率密度为 = 0 其他 0 1 ( ) Ax x x ， 求：（1）系数 A ；（2）概率 P{ 0.5} ； （3）随机变量 的分布函数。 2.14 已知随机变量 的概率密度为 x x Ae− ( ) = ，（ − x + ）。求： （1）系数 A ；（2）随机变量 落在区间（0，1）内的概率；（3）随机变量 的分布函数。 2.15 函数 2 1 1 ( ) x F x + = 是否是连续型随机变量 的分布函数，如果 的可能值充满区间 （1） (−,+) ； （2） (−,0) 。 2.16 设连续型变量 的分布函数为：
0 x<0 F(x)={Ax20≤x<1 (1 x21 求：(1)系数A:(2)5的概率密度p(2):(3)P{-0.3<5<0.7}。 2.17(柯西分布)设连续型随机变量5的分布函数为 F(x)=A+Barctanx,(-o<x<oo), 求：(1)系数A、B:(2)5∈(-1,1)的概率：(3)5的概率密度。 2.18公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过。乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求 乘客候车时间不超过3分钟的概率。 2.19假定一个新的灯泡的寿命5（单位：小时）服从以入=1/100为参数的指数分布。求： (1)灯泡的寿命在50到200之间的概率： (2)设F(x)是5的分布函数，已知F(x。)=p,0<p<1,求xp 2.20修理某机器所需时间（单位：小时）服从以入=1/2为参数的指数分布。试问： (1)修理时间超过2小时的概率是多少？ (2)若己持续修理了9小时，总共需要至少10小时才能修好的条件概率是什么？ 2.21设随机变量5~N(1,22),求： (1)P{5<2.2}:(2)P{-1.6≤5<5.8}：3)P5≤3.5}：(4)P{5≥4.56。 2.22某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布N(72,02), 且96分以上占学生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。 2.23在电源电压不超过200V,在200~240V之间和超过240V的三种情况下，某种电子元 件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2。假设电源电压5N(220,252),试求： (1)该电子元件损坏的概率： (2)该电子元件损坏时，电源电压在200~240V之间的概率。 2.24假设测量的随机误差5~N(0,102),试求在100次独立重复测量中，至少有2次测 46
４６ = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x Ax x x F x 求：（1）系数 A ；（2） 的概率密度 (2) ； （3） P{−0.3 0.7}。 2.17 （柯西分布）设连续型随机变量 的分布函数为 F(x) = A + Barctan x ，(− x ) ， 求：（1）系数 A 、 B ； （2） (−1,1) 的概率； （3） 的概率密度。 2.18 公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过。乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。 2.19 假定一个新的灯泡的寿命 （单位：小时）服从以 =1/100 为参数的指数分布。求： （1）灯泡的寿命在 50 到 200 之间的概率； （2）设 F(x) 是 的分布函数，已知 F(x p ) = p ，0 p 1 ，求 p x 。 2.20 修理某机器所需时间（单位：小时）服从以 =1/ 2 为参数的指数分布。试问： （1）修理时间超过 2 小时的概率是多少？ （2）若已持续修理了 9 小时，总共需要至少 10 小时才能修好的条件概率是什么？ 2.21 设随机变量 ～ (1, 2 ) 2 N ，求： （1） P{ 2.2} ； （2） P{−1.6 5.8} ； 3） P{ 3.5} ；（4） P{ 4.56}。 2.22 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布 (72, ) 2 N ， 且 96 分以上占学生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 至 84 分之间的概率。 2.23 在电源电压不超过 200V，在 200~240V 之间和超过 240V 的三种情况下，某种电子元 件损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2。假设电源电压 ～ (220, 25 ) 2 N ，试求： （1）该电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电源电压在 200~240V 之间的概率。 2.24 假设测量的随机误差 ～ (0, 10 ) 2 N ，试求在 100 次独立重复测量中，至少有 2 次测