第九章第三节三重积分一、三重积分的概念二、 三重积分的计算oeoo0x机动自录上页下页返回结束
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章
一、三重积分的概念引例：设在空间有限闭区域Q内分布着某种不均匀的物质,密度函数为μ(x,y,z)C,求分布在 Q 内的物质的质量M.解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用“大化小，常代变，近似和，求极限'2可得n△vEu(Ek, Nk,Sh)AvkM = lim1→0k=1(Ek,nk,Sh)O0000X机动目录上页下页返回结束
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在 内的物质的 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.设f(x,y,z),(x,y,z)E,若对Q 作任意分割AVk（=l,2..:,n),任意取点(k,nk,Sk)△Vk,下列"乘极限积和式”2记作limE f(Ek,nk,Sk)AvkJJJ, f(x, ,z)dv2-0k=1存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在上的三重积分dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域Q上连续,V为2的体积,则存在(,n,)EQ,使得J, f(x, y,z2)dv= f(5,n,S)yoe000x机动自录上页下页返回结束
定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k f v → = lim ( , , ) 1 0 存在, f (x, y,z) f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (,, ), 使得 f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分先假设连续函数_f(x,y,z)≥0,并将它看作某物体的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法:方法1：投影法（“先一后二”）方法2：截面法（‘先二后一”）方法3.三次积分法最后，推广到一般可积函数的积分计算O00D0X机动目录上页下页返回结束
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z) 0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法1.投影法（先一后二”）z = z2(x,y)[zi(x,y)≤z≤z2(x,y)Q:(x,y)eDZ细长柱体微元的质量为z2(x.yf(x, y,z)dz |dxdyiz =zi(xjy)Zi(x, y该物体的质量为VDx[J,f(x, y,z)dvdxdyZ2(x,y)f(x, y,z)dz |dxdy微元线密度~Xf(x,y,z)dz记作Z2(x,y)J.dxdyf(x, y,z)dzi(x,yO0000x机动自录上页下页返回结束
z x y D = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” ) x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1 该物体的质量为 f (x, y,z)d v ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f x y z z ( , , )d 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束