第一章 §6极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §6 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1. lmf(x)=A二V{xn}:xn≠x0,f(xn)有定义 x→x0 xn>xo(n→o),有limf(xn)=A n-→o∞ 为确定起见，仅讨论x→x的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 : n x , 0 x x n 有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1. limf(x)=A.={xn}:xn≠xo,f(xn） X→X0 有定义，且xm→xo(n→o),有1imf(x,)=A 证：“”设limf(x)=A,即Ve>0,38>0,当 x→x0 0<x-xo<6时，有f(x)-A<E. V{xn}:xn≠x,f(xn)有定义，且xn→xo(n→o) 对上述δ，3N,当n>N时，有0<xn-x<6, 于是当n>N时f(xn)-A<E. 故 lim f(n)=A 一”可用反证法证明.（略） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即 0, 0, 当 有 f (x) − A . : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 , 且 对上述 , 时, 有 于是当 n N 时 f (x ) − A . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当 x y A N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A,一V{xn}:xn≠xo,f(xn)有定义 XX0 (x→∞) 且xn→x(n→oo),有1imf(xn)=A, 1n→o (xn∞） 说明：此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xm≠x,且xn→xo(n→0) 使limf(xm)不存在 1n→0 法2找两个趋于xo的不同数列{xn}及{xn},使 Iimf(xn)≠limf(x) n-→>o0 n→o∞ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列 xn 及 , n x 使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n f x → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明 limsin 不存在 x-→0 X 证：取两个趋于0的数列 Xn= 及xn (n=1,2, 2nπ 2nπ+ 有 lim sin- 1【=lim sin2nπ=0 n->o0 Xn n->o∞ lim sin 1 Xn =lim sin(2nπ+)=1 n-→o∞ n-→o 由定理1知1 lim sin上， 不存在 x>0 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1 + = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x 1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = → n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束