2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x->a x→b 在(a,b)内至少存在一点5，使f"(5)=0 f(a), x=a 证明提示：设F(x)=了f(x), a<x<b f(b),x=b 证Fx)在[a,b]上满足罗尔定理 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 返回 结束
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 y f (x)在 ( a , b ) 内可导, 且 lim f (x) x a lim f (x) x b 在( a , b ) 内至少存在一点 , f ( ) 0. 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . F(x) f a x a ( ), f (x), a x b f b x b ( ), 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证：1)存在性. 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0,1]连续，且 f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在x∈(0,1)，使 f(x)=0,即方程有小于1的正根x 2)唯一性 假设另有x,∈(0,1)，x1≠x0,使f(x)=0,f(x)在以 x,x1为端点的区间满足罗尔定理条件，在x0,x之间 至少存在一点5，使f"(5)=0. 但f'(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1)，矛盾，故假设不真 HIGH EDUCATION PRESS 机 返回 结束
例1. 证明方程 5 1 0 5 x x ( ) 5 1, 5 f x x x f (0) 1, f (1) 3. ( ) 0, f x0 (0,1), , 1 1 0 x x x ( ) 5( 1) 4 f x x 0, x(0,1), 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 . 0x 2) 唯一性 . 假设另有 ( ) 0, 使 f x1 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 , 使 f ( ) 0. 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束