第一章 §9连疾盈数的运算与 初等盈教的连续性 一、 连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §9连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章
一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积， 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 利用极限的四则运算法则证明) ( 例如，sinx,cosx连续 tanx,cot x 在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调 递增（递减） (证明略) 例如，y=sinx在[-号，]上连续单调递增 其反函数y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 页下页返回结束
定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如， y=ex在(-oo,+oo)上连续单调递增 其反函数y=nx在(0，+oo)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的 证：设函数u=(x)在点xo连续，且lim(x)=4, X0 函数y=f(x)在点4连续，即1imf(u)=f(4o) 于是 lim f[o(x)]=lim f(u)=f(uo=f[(xo)] x→X0 2u今1u0 =f[lim (x)]. 故复合函数f[p(x)]在点x,连续 显然，在定理3的条件下，求复合函数f[p(x)的极限 时，函数符号与极限符号1im可以交换次序 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 0 0 lim ( ) . x x x u → = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 [lim ( )]. x x f x → = 显然，在定理3的条件下，求复合函数f [φ(x)]的极限 时，函数符号f与极限符号lim可以交换次序
例洳，y=sin1 是由连续函数链 y=Sinu,u∈(-0，+oo） 1l= x∈R x 复合而成，因此y=sinm在x∈R上连续 X y y sin X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求lim x-3 x>3 Vx2-9 x-3 解 x-3 y=x2-9 看作由y=√与u= x2-9 -31 复合而成，因为1m 3x2-9 -6 而函数y=√am在点u= -6 连续，所以 x-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 求 2 3 3 lim . x 9 x → x − − 2 3 9 x y x − = − 解 可看作由 y u = 与 2 3 9 x u x − = − 复合而成，因为 , 6 1 9 3 lim 2 3 = − − → x x x 而函数 y u = 在点 6 1 u = 连续，所以 2 3 3 lim x 9 x → x − − 9 3 lim 2 3 − − = → x x x 6 1 = . 6 6 =