第一章 §5极浪运算法则 无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 机动目录上页下页返回结束
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5 极限运算法则
本节将讨论极限的求法，主要是建立极限运算的四则 运算法则和复合函数的运算法则，利用这些法则，可以求 某些函数的极限.以后我们将逐步介绍求极限的的其他方法 在下面的讨论中，记号“1im下面没有标明自变量的3 化过程，实际上，下面的定理对x→x及x→o都是成立的 在论证时，我们只证明了x→x的情形，只要把改成X,把 0sx-x≤改成x>X,就可得x→o情形的证明
本节将讨论极限的求法，主要是建立极限运算的四则 运算法则和复合函数的运算法则，利用这些法则，可以求 某些函数的极限.以后我们将逐步介绍求极限的的其他方法. 在下面的讨论中，记号“lim”下面没有标明自变量的变 化过程，实际上，下面的定理对x→x0及x →∞都是成立的. 在论证时,我们只证明了x→x0的情形,只要把δ改成X，把 0＜|x-x0 |＜ δ改成|x|＞X，就可得x →∞情形的证明
一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设lima=0,1im/阝=0， x→0 V6>0,δ1>0，当0kx-x0K6时，有aK号 3δ2>0，当0<x-xo<δ2时，有B<号 取δ=min{δ1，δ2，则当0<x-xokδ时，有 a+B≤a+B<号+5=ε 因此 lim (a+B)=0. x->Xo 这说明当x→x。时，a+阝为无穷小量 机动目录上页下页返回结束
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， =1 n-→∞ +…++nx 解签见课件第三讲例4 机动目录上页下页返回结束
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim =1 解答见课件第三讲 例4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小· 证：设VxEU(o,6),usM 又设/1imax=0,即Ve>0,3d>0,当x∈U(xo,d2) x-→X0 时，有a≤ 取8=min{δ1,2}，则当x∈U(x0,8)时，就有 ua=uc≤M·8=e 故1imuc=0,即ua是x→xo时的无穷小 x今x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 机动目录」 上页下页返回结束
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束