shx y X= chx y=chx= sh 性质 chx-shx=1 ch2xtsh2x=ch2x sh2x=2shx·chx Sh(x±y)=shx·chy±chx:shy ch(x±y)=chx·chy±shx:$hy 1-thx= ch'x 1-cthx= shxtchx=e cos0+isin 0 由 chx-shx=e cos0-isin e ch)=sh (thx) h2x 反双曲函数 Arshx=l(x+√1+x2) (Arsh x)= arsh Arsx]√h Archa不是单值函数,可选一个分支来研究 artha /9a 基本初等函数导数公式
73 ch x sh x y = th x = sh x ch x y = cth x = 性质 1 2 2 ch x - sh x = ch x sh x ch2x 2 2 + = sh 2x = 2sh x × ch x sh( x ± y) = sh x × ch y ± ch x ×sh y ch( x ± y) = ch x × ch y ± sh x ×sh y ch x th x 2 2 1 1- = sh x cth x 2 2 1 1- = - x x ch x sh x e sh x ch x e - - = + = 由 ïî ï í ì - = + = - q q q q q q i i i e i e cos sin cos sin (sh x)¢ = ch x (ch x)¢ = sh x ch x thx 2 1 ( )¢ = 反双曲函数 ln( 1 ) 2 Arsh x = x + + x 2 1 1 [ ] 1 ( ) 1 ( ) ch Arsh x x sh y y Arsh x Arsh x + = = ¢ = ¢ = Arch x 不是单值函数，可选一个分支来研究 x x Arthx - + = 1 1 ln 2 1 2 1 1 ( ) x Arthx - ¢ = 基本初等函数导数公式 ( c )¢ = 0
(a=a In a (e2) (log, x) (Ind) x (sin x)=cos x (sh x)=chx (c oSx=-sin x (ch x)=shx (thx) sin x arcsin x)= ((x+√x2+1)y= (arccos x) (arct x)= 6.参数式求导 参数方程 x=x(1) 当x(),y(1)在[a,b]连续,可导,且x'(t)≠0时,我们可 y=y(o 假定x'()>0或x'(m)<0。这时x(t)严格单调,所以x=x()有反函数,t=1(x),且可 导:r(x)=1,参数方程决定一个函数y(x)=(x),它的导数y=y1=或 x'(r) 可写成 中_c/t dx dt/ dt 例(旋轮线,摆线,最速下降线)一轮沿一直线滚动,求轮线上一定点的轨迹曲线 并求斜率为1的曲线的切线。 解 B
74 1 ( ) - ¢ = × a a x a x a a a x x ( )¢ = ln , x x (e )¢ = e x e x a a log (log )¢ = , x x 1 ( ln | |)¢ = (sin x)¢ = cos x (sh x)¢ = ch x (cos x)¢ = - sin x (ch x)¢ = sh x x tg x 2 cos 1 ( )¢ = ch x thx 2 1 ( )¢ = x ctg x 2 sin 1 ( )¢ = - 2 1 1 (arcsin ) x x - ¢ = 2 2 1 1 ( ln( 1) ) x x x + + + ¢ = 2 1 1 (arccos ) x x - ¢ = - 2 1 1 ( ) x arctg x + ¢ = 2 1 1 1 1 ln 2 1 x x x - = ¢ ÷ ø ö ç è æ - + 6. 参数式求导 参数方程 î í ì = = ( ) ( ) y y t x x t ， 当x(t) ， y(t) 在[a, b]连续，可导，且 x¢(t) ¹ 0 时，我们可 假定 x¢(t) > 0 或 x¢(t) < 0 。这时 x(t) 严格单调，所以 x = x(t) 有反函数，t = t( x) ，且可 导： ( ) 1 ( ) x t t x ¢ ¢ = ，参数方程决定一个函数 y(x) = y(t( x) )，它的导数 t t x t x x y y y t ¢ ¢ ¢ = ¢ × ¢ = 或 可写成 dt dx dt dy dx dy = 。 例（旋轮线，摆线，最速下降线） 一轮沿一直线滚动，求轮线上一定点的轨迹曲线， 并求斜率为 1 的曲线的切线。 解 a A B t a O M
x=OM-CB, y= AM-AB, OM=CM x=at-asin t=a(t-sin t) (0≤t≤2) y=a-acost=a(1-cost) 钟摆当α很小时,摆动可近似为简谐振动,但这只是个近似。在摆的两 侧用两条曲线限制它,使它成为严格简谐振动,从而有严格周期,这个曲线 恰为旋轮线,故它也称为摆线 考虑一个质点在重力作用下从A点沿曲线下降到B点,沿什么曲线下降最快?也是旋 轮线,故它也称为最速下降线 现在我们求它的导数 ●B y= a( asin t =2 这时x=a(x-1),y=a。该点的切线方程为 y=x+a(2-=) 7.极坐标求导 极坐标中函数r=r(6)。 r(e)cos 换成直角坐标 r(e)sin 8 可看成参数式yt=2=r()sin+r()cosb48O+r(6) xe r(0)cos0-r(6)sin B 8()8a,由此 (e) () r(6)tga-180 r(8) 1+tga tge =1g(a-0)=1gB,见图 例证明螺线r=ae°(a,b>0)向径与切线交角
75 x = OM - CB ， y = AM - AB ，OM = CM (0 2 ) cos (1 cos ) sin ( sin ) £ £ p î í ì = - = - = - = - t y a a t a t x at a t a t t 钟摆当a 很小时，摆动可近似为简谐振动，但这只是个近似。在摆的两 侧用两条曲线限制它，使它成为严格简谐振动，从而有严格周期，这个曲线 恰为旋轮线，故它也称为摆线。 考虑一个质点在重力作用下从 A 点沿曲线下降到 B 点，沿什么曲线下降最快？也是旋 轮线，故它也称为最速下降线。 现在我们求它的导数： 2 1 (1 cos ) sin t tg a t a t x y y t t x = - = ¢ ¢ ¢ = 。 令 1 2 1 = t tg ， 2 p t = ，这时 1) 2 = ( - p x a ， y = a 。该点的切线方程为 1) 2 - = - ( - p y a x a ， 即 ) 2 (2 p y = x + a - 。 7． 极坐标求导 极坐标中函数 r = r(q )。 换成直角坐标 î í ì = = q q q q ( )sin ( )cos y r x r 可看成参数式 a q q q q q q q q q q q q q q q q tg r r tg r r tg r r r r x y yx = ¢ - ¢ + = ¢ - ¢ + = ¢ ¢ ¢ = ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) cos ( )sin ( )sin ( ) cos ，由此 a q b a q a q q q tg tg tg tg tg tg r r = - = + - = ¢ ( ) ( ) 1 ( ) ，见图。 例 证明螺线 r = ae (a,b > 0) bq 向径与切线交角 β q a r =r(q) A B
为一常数。 证r(O)_ae01 r(=hb3B,所以阝=arcB为常数,与无关。 §4.4高阶导数 1.如果s(1)是直线上质点运动位移,则s'(1)=v(1)就是质点运动中的速度,w(m)=s" =a()为加速度,这样很自然地可以引进高阶导数概念 一般地可由归纳法定义:∫(m)(x)是f(x)的n-1阶导数,它的n阶导数定义为 f(m)=(f(m-(x)’。形式地记∫(x)=f(x),引进一个记号 c"(a, b)=f(:fm(re C(a, b)) 在概念上高阶导数没有什么新东西,但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧。 例1 解y=ae",y”=a2e,A,y=de" 例2y=x2,求ym 解 y”=a2e",A,y)=a(a-1)A(a-n+1)x(n≥1)当 a为正整数时,a=n,y=川!,a<n,y)=0。若P(x)是m次多项式,n>m, 则P((x)=0。 例3y=l(1+x),求y(")。 解y= (1+x)2 y)=(-1)m1(n-1) (1+x) (n≥1),其中规定 1+x 0!=1 例4y=sinx,求y。 解y cOSx=sin( x+ x=sin(x+丌)
76 为一常数。 证 b q q q q tg abe b a e r r b b = = = ¢ 1 ( ) ( ) , 所以 b arctg 1 b = 为常数，与q 无关。 §4.4 高阶导数 1．如果 s(t) 是直线上质点运动位移，则 s¢(t) = v(t) 就是质点运动中的速度，v¢(t) = s¢¢(t) = a(t) 为加速度，这样很自然地可以引进高阶导数概念。 一般地可由归纳法定义： ( ) ( 1) f x n- 是 f (x) 的n -1阶导数，它的n 阶导数定义为 ( ( )) ( ) ( 1) = ¢ - f f x n n 。形式地记 ( ) ( ) 0 f x = f x ，引进一个记号 ( , ) { ( ) ( ) ( , )} ( ) C a b f t f t C a b n n = ： Î 在概念上高阶导数没有什么新东西，但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧。 例 1 ax y = e ，求 (n) y 。 解 ax y¢ = a e ， ax y a e 2 ¢¢ = ， n n ax y = a e ， ( ) L 。 例 2 a y = x ，求 (n) y 。 解 -1 ¢ = a y a x ， ax y a e 2 ¢¢ = ， n n y n x - = - - + a a(a 1) (a 1) ( ) L ， L (n ³ 1) 当 a 为正整数时，a = n， ! ( ) y n n = ，a < n ， 0 ( ) = n y 。若 P (x) m 是m 次多项式，n > m， 则 ( ) 0 ( ) P x = n 。 例 3 y = ln(1+ x) ，求 (n) y 。 解 x y + ¢ = 1 1 ， 2 (1 ) 1 x y + ¢¢ = - ， n n n x n y (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 + - = - ， - L (n ³ 1)， 其中规定 0!= 1。 例 4 y = sin x ，求 (n) y 。 解 ) 2 cos sin( p y¢ = x = x + ， y¢¢ = - sin x = sin( x + p )
n 同理可得 (cos x) =cos(r+nz 用 Euler公式,e=cos6+isinθ,形式地 cos(0+-)+isin( 8+ 所以(cosx))=cos(x+--),(inx))=sin(x+)。 例5y= arct x,求ym。 解1 = cOs J 1+x21+1g2y y=-2cos ysin yy=cos ysin 2(y+1) y=2cos'y (sin y)sin 2(y+-)+2" y cos2(y+ 7L sin 3(y+ 2 (n-1)cos"ysin n(y+-) 特别地y(2m)(0)=(-1)(2n-2)!, 2. Leibniz公式 (c)(")=cu (u·v)’=n
77 ) 2 sin( ( ) np y x n = + M 同理可得 ) 2 (cos ) cos( ( ) np x x n = + 用 Euler 公式， q q q e cos isin i = + , 形式地 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) 2 (cos ) (sin ) ) 2 ) sin( 2 cos( ( ) n n n i i n i i n n i i n i n e i e e e e q q p q p q p q q p q q = + = + + + = = = + 所以 ) 2 (cos ) cos( ( ) np x x n = + ， ) 2 (sin ) sin( ( ) np x x n = + 。 例 5 y = arctg x ，求 (n) y 。 解 y x tg y y 2 2 2 cos 1 1 1 1 = + = + ¢ = ) 2 2cos sin cos sin 2( 2 p y¢¢ = - y × y × y¢ = y y + ) 2 2cos sin 3( ) ) 2 2cos cos( 2( ) 2 ) 2cos cos2( 2 2cos ( sin )sin 2( 3 3 3 4 p p p p = × + = × + + ¢¢¢ = × - + + + y y y y y y y y y y y L L ) 2 ( 1)!cos sin ( ( ) p \ y = n - y × n y + n n 。 特别地 (0) ( 1) (2 2)! (2 1) 1 = - - - - y n n n ， (0) 0 (2 ) = n y 。 2． Leibniz 公式 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u ± v = u ± v ( ) ( ) ( ) n n cu = cu (1) (0) (0 ) (1) (u × v)¢ = u v + u v