(x)=∑fx f(x) K(x), K,(x)=f(x)A N(x)A f,(x) 例tg函数 coS x+ sin ( x) sec x COS x COS X COS x cos x-sin x (ctg x) =-CSc x sIn x §43求导的几种技巧 1.复合函数微分法 定理设f(u0)与g'(x)存在,l0=g(x0),则复合函数F(x)=fg(x)在x0点 可导,且F(x0)=f[g(x0)·g(x) 注若∫(u)的定义域包含u=g(x)的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合 函数F(x)=「8g(x)在g(x)的定义域上可导,且 F'(x)=∫[g(x)g(x)(怀中抱月) 或y=yl2 dy dy du 定理的证明定义函数 f(u)-f(uo) ll≠1o0 f(uo) A(u)在u点连续,lmA(u)=A(l)=f(ab) 由恒等式,f(u)-f(l0)=A(u)u-0),我们有 F(x)-F(xo) f[g(x)]-fig(xo) A8(x)28(x)-g(cn)
68 2） å å = = = ¢ ¢ ú û ù ê ë é n i i n i i f x f x 1 1 ( ) ( ) 。 3） ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x K x K x f x f x f x k k n n k k n j i = = L ¢ L ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ Õ å = = 。 例 tg 函数 x x x x x x x tg x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin cos sin ( ) = = + = ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ = x x x x x x x ctg x 2 2 2 2 2 csc sin 1 sin cos sin sin cos ( ) = - - = - - = ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ = 。 §4.3 求导的几种技巧 1． 复合函数微分法 定理 设 ( ) u0 f ¢ 与 ( ) 0 g¢ x 存在， ( ) 0 0 u = g x ，则复合函数 F( x) = f[g(x)] 在 0 x 点 可导，且 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 F¢ x = f ¢ g x × g¢ x 。 注 若 f (u) 的定义域包含 u = g (x) 的值域，两函数在各自的定义域上可导，则复合 函数 F( x) = f[g(x)] 在 g (x) 的定义域上可导，且 F¢( x) = f ¢[g( x)]× g¢( x) （怀中抱月） 或 x u ux y¢ = y¢ × ¢ ， dx du du dy dx dy = × 。 定理的证明 定义函数 ï î ï í ì ¢ = ¹ - - = 0 0。 0 0 0 ( ) , , , ( ) ( ) ( ) f u u u u u u u f u f u A u A(u) 在u0 点连续， lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A u A u f u u u = = ¢ ® 由恒等式， ( ) ( ) ( )( ) u0 A u u u0 f u - f = - ，我们有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] x x g x g x A g x x x f g x f g x x x F x F x - - = × - - = - -
令x→x,得F(x0)=f[g(x0)g1(x0)。 我们引进A()是为了避免再直接写表达式 F(x)-F(xo) f(u-f(uo)g(x)-g(o) 中当x≠x0时,可能会出现=l0情况 例解 求 y2=-(1-x2)2(1-x2) (1-x2)2(-2x) 例2y=sinx2,求y 解 例3y=sin(sinx3),求y 解y'= cos(sin x3)·cosx3:(x3)’=3x2cosx3cos(sinx3)。 例4y=ln ),求y 解 J'=(r+1+xii ta x+vI+x 例解 5y=h|x|,求y x>0时,y= rx<0时,y=(h(-x)=-(-/ ,∴x≠0时 (ln|x|)= 例解 6 ),求y。 2 cos(2x)
69 令 0 x ® x ，得 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 F¢ x = f ¢ g x × g¢ x 。 我们引进 A(u) 是为了避免再直接写表达式 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x g x g x u u f u f u x x F x F x - - × - - = - - 中当 0 x ¹ x 时，可能会出现 u = u0 情况。 例 1 2 y = 1- x ，求 y¢ 。 解 。2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 (1 ) ( 2 ) 2 1 (1 ) (1 ) 2 1 x x x x y x x - = - = - - ¢ = - - ¢ - - 例 2 2 y = sin x ，求 y¢ 。 解 2 2 2 y¢ = cos x × (x )¢ = 2x cos x 。 例 3 sin(sin ) 3 y = x ，求 y¢ 。 解 cos(sin ) cos ( ) 3 cos cos(sin ) 3 3 3 2 3 3 y¢ = x × x × x ¢ = x x x 。 例 4 ln( 1 ) 2 y = x + + x ，求 y¢ 。 解 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 ( 1 ) x x x x x x x x x y + = + + + + = + + + + ¢ ¢ = 。 例 5 y = ln | x | ，求 y¢ 。 解 x > 0 时， x y 1 = ； x < 0 时， x x x y x 1 ( ) 1 ¢ = (ln( - ) )¢ = - - ¢ = ， \ x ¹ 0 时， x x 1 ( ln | |)¢ = 。 例 6 y = ln sin( 2x) ，求 y¢ 。 解 sin( 2 ) 2cos(2 ) cos(2 ) sin( 2 ) 2 x x x x y¢ = =
2.隐函数微分法 若可微函数y=y(x)满足方程F(x,y)=0,则其导数可以从F(x,y)=0求出。 个方程F(x,y)=0何时能唯一决定一个可微函数y=y(x),留待日后解决,现在我们通常 假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题。 例7x2+y2=a2,求过点(x0,y)(y≠0)的切线方程 解对方程x2+y2=a2求导,心中记住y=y(x)是x的函数,得 y y 0 y'(x) 在(x,y)点上,y(x)=-3,过(xny)切线方程为 (x-x0) xx 3.对数微分法 我们结合例子研究对数微分法 例8y 解函数定义域(-∞0)和(a,+∞),取对数hy-2 hn|x|--ln|x-a|,两边对 y=y(x)求导,采用隐函数微分法,得y=3.1_1.1_2x-3 所以 2x(x-a) 2x(x-a) 例9y=u",u=u(x),"=v(x),求y 解取对数,得hy=y·hu,两边求导,得 In u+ v
70 2． 隐函数微分法 若可微函数 y = y(x) 满足方程 F( x, y) = 0，则其导数可以从 F(x, y) = 0 dx d 求出。一 个方程 F( x, y) = 0何时能唯一决定一个可微函数 y = y(x) ，留待日后解决，现在我们通常 假定能唯一决定一个可微函数，考虑如何求出导函数问题。 例 7 2 2 2 x + y = a ，求过点( , ) 0 0 x y ( 0) y0 ¹ 的切线方程。 解 对方程 2 2 2 x + y = a 求导，心中记住 y = y(x) 是 x 的函数，得 2x + 2 y × y¢ = 0 y x y¢(x) = - 在( , ) 0 0 x y 点上， 0 0 0 ( ) y x y¢ x = - ，过( , ) 0 0 x y 切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x y x y - y = - - ， 2 0 2 0 0 0 xx + yy = x + y ， 即 2 0 0 xx + yy = a 。 3． 对数微分法 我们结合例子研究对数微分法 例 8 ( 0) 3 > - = a x a x y ，求 y¢ 。 解 函数定义域(-¥,0) 和 (a,+¥) ，取对数 ln | | 2 1 ln | | 2 3 ln y = x - x - a ，两边对 y = y(x) 求导，采用隐函数微分法 ，得 2 ( ) 1 2 3 2 1 1 2 3 x x a x a y x x a y - - = - = × - × ¢ ，所以 x a x x x a x a y - - - ¢ = 3 2 ( ) 2 3 。 例 9 v y = u ，u = u(x)，v = v(x) ，求 y¢ 。 解 取对数，得ln y = v ×ln u ，两边求导，得 u u v u v y y = ¢ × + × × ¢ ¢ 1 ln
y=y(-+vIn u=u(-+v Inu) 如 x(1+In x) 4.反函数求导 定理设x=0(y)在区间(c,d)上连续,严格上升,在yo∈(c,d)点可导,且 q(y0)≠0,x0=φ(y0)。则反函数y=∫(x)在x0点可导,且 f(x)= (y)91/(x0) 注若x=9(y)在(c,d)可导,导数>0(或<0),则反函数y=f(x)存在,且 o'(y)T(x) (yly=f(x) 这里导数>0(或<0)可推出Q(y)严格上升(下降),反函数之导数公式也可写成 dx 定理的证明要证lmf(x)-8存在,注意到这个比式是函数 g(y) q(y)-q(y0) 与y=f(x) 的复合,由定理条件知 f(x)-f(x0) y→Q(y)-q(y0)y9(y)-9(y0)g() y-yo 再由反函数连续性,x→x0时,y→y,由复合函数求极限定理得 lim /(x)-/(o2= lim &lf(x)=lim &( (y0) 例10y=a2(a>0,a≠1),求y。 解x=log。y,(a2 hna,反过来,如 (log。y) V=a
71 ( ln ) ( v lnu ) u vu v u u u vu y y v + ¢× ¢ + ¢× = ¢ ¢ = 。 如 x y = x ， y x (1 ln x) x ¢ = + 。 4． 反函数求导 定理 设 x =j( y) 在区间 (c, d ) 上连续，严格上升，在 ( , ) y0 Î c d 点可导，且 j¢( y0 ) ¹ 0， ( ) 0 0 x = j y 。则反函数 y = f (x)在 0 x 点可导，且 [ ( )] 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 y f x f x j j ¢ = ¢ ¢ = 。 注 若x =j( y) 在(c, d ) 可导，导数> 0 (或 < 0) ，则反函数 y = f (x)存在，且 ( ) ( ) 1 [ ( )] 1 ( ) 1 ( ) y f x y y f x f x ¢ = = ¢ = ¢ ¢ = j j j 。 这里导数> 0 (或 < 0) 可推出j( y) 严格上升（下降），反函数之导数公式也可写成 dy dx dx dy 1 = 。 定理的证明 要证 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x - - ® 存在，注意到这个比式是函数 ( ) ( ) ( ) 0 0 y y y y g y j -j - = 与 y = f (x) 的复合，由定理条件知 ( ) 1 0 ) 0 ( ) ( 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 y y y y y y y f x f x y y j j y y j j j¢ = - - = - - ® ® 。 再由反函数连续性， 0 x ® x 时， 0 y ® y ，由复合函数求极限定理得 ( ) 1 lim [ ( )] lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 y g f x g y x x f x f x x x x x y y j¢ = = = - - ® ® ® 。 例 10 y = a (a > 0, a ¹ 1) x ，求 y¢ 。 解 x y a = log ， a x a x e y a y x y y a a a a x ln (log ) log 1 ( ) = = = = ¢ ¢ = ，反过来，如
果(a)已知,也可求(ogax)= (a) a" na y 例 x,求 解 In 例12y= arcsin x,求y 解 arcsin x )= y=arcsin x cos(arcsin x 例13y= arccos x,求y'。 解 (arccos x) (cos y) y=arccos x sin(arccos x) 例14y=arcx,求y 解 ( arct x)’= ()'y=arct x (arct x) 同理可得( arcata x)= 1+x 5.双曲函数及其反函数之导数 y=shx=(e-e), hx=(e2+e-3)
72 果( )¢ x a 已知，也可求 y e a x a y a a x a a x x log ln 1 ( ) log 1 (log ) = = ¢ = ¢ = 。 例 11 a y = x ，求 y¢ 。 解 x y e a ln = ， ln -1 ¢ = = × a a a a x x e x y 。 例 12 y = arcsin x ，求 y¢ 。 解 x = sin y ， 。2 1 1 cos(arcsin ) 1 (sin ) arcsin 1 (arcsin ) x x y y x x - = = ¢ = ¢ = 例 13 y = arccos x，求 y¢ 。 解 。2 1 1 sin(arccos ) 1 (cos ) arccos 1 (arccos ) x x y y x x - = - = - ¢ = ¢ = 例 14 y = arctg x ，求 y¢ 。 解 2 。 2 1 1 sec ( ) 1 ( ) 1 ( ) x arctg x y arctg x tg y arctg x + = = ¢ = ¢ = 同理可得 2 1 1 ( ) x arcctg x + ¢ = - 。 5． 双曲函数及其反函数之导数 ( ) 2 1 x x y sh x e e - = = - ， ( ) 2 1 x x y ch x e e - = = +