第七章定积分 81定积分的概念 1.已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分: (1)∫dx(0<a<b); (2)mkdr(k是常数 2d (4)Ja2dr(a≠1,a>0) 2.设f(x)在a+cb+q可积,证明f(x+c)在a,b上可积,且 f(a+c)d.c= f(a)d 设 1,x=c,c∈ f(x)= 0,x∈a,c)∪(c,b 求证Cf(x)dx=0 4.若函数f(x)在[a,b上可积,其积分是,今在a,内有限个点上改 变f(x)的值使它成为另一函数f*(x),证明f(x)也在a,b上可积,并且积 分仍为Ⅰ §2定积分的基本性质 1.设f(x)在[a,b连续,f(x)≥0,f(x)不恒为零,证明
第七章 定积分 §1 定积分的概念 1. 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) R b a xdx(0 < a < b)； (2) R b a kdx(k是常数； (3) R 2 −1 x 2dx； (4) R 1 0 a xdx(a 6= 1, a > 0). 2．设f(x)在[a + c, b + c]可积，证明f(x + c)在[a, b]上可积，且 Z b a f(x + c)dx = Z b+c a+c f(x)dx. 3．设 f(x) = 1, x = c, c ∈ (a, b), 0, x ∈ [a, c) ∪ (c, b], 求证R b a f(x)dx = 0. 4．若函数f(x)在[a, b]上可积，其积分是I，今在[a, b]内有限个点上改 变f(x)的值使它成为另一函数f ∗ (x)，证明f ∗ (x)也在[a, b]上可积，并且积 分仍为I. §2 定积分的基本性质 1. 设f(x)在[a, b]连续，f(x) ≥ 0，f(x)不恒为零，证明 Z b a f(x)dx > 0. 1
2.设f(x)在{a,连续,∫f2(x)dx=0,证明f(x)在a,上恒为零 3.举例说明f2(x)在a,b可积,但f(x)在[a,b不可积 4.比较下列各对定积分的大小 ra (2)J2 5.证明下列不等式(设所给的积分存在); (1)1≤/edr≤e; 1≤J2 ≤盘 (3)≤ √ (4)3E≤J0 证明 (1)im/ 2)lim o sin"dx=0 n→00 7.设f(x),g(x)在{a,b连续,证明 in∑∫(s)9(0)△n;=/fa)(a)dx 其中a rn=b,△x;=x 5,B1∈[x-1,xl](i 1,2,…,n),A=max{△r}
2. 设f(x)在[a, b]连续，R b a f 2 (x)dx = 0，证明f(x)在[a, b]上恒为零. 3. 举例说明f 2 (x)在[a, b]可积，但f(x)在[a, b]不可积. 4. 比较下列各对定积分的大小： (1) R 1 0 xdx , R 1 0 x 2dx； (2) R π 2 0 xdx, R π 2 0 sin xdx； (3) R −1 −2 ( 1 3 ) xdx, R 1 0 3 xdx . 5．证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 1 ≤ R 1 0 e x 2 dx ≤ e； (2) 1 ≤ R π 2 0 sin x x dx ≤ π 2； (3)π 2 6 R π 2 0 √ dx 1− 1 2 sin2 x 6 √π 2 ； (4) 3√ e ≤ R 4e 0 ln √ xdx x ≤ 6. 6．证明： (1) limn→∞ R 1 0 x n 1+x dx = 0； (2) limn→∞ R π 2 0 sinn xdx = 0. 7．设f(x), g(x)在[a, b]连续，证明 lim λ→0 Xn i=1 f(ξi)g(θi)∆xi = Z b a f(x)g(x)dx 其中a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ∆xi = xi − xi−1, ξi , θi ∈ [xi−1, xi ](i = 1, 2, · · · , n), λ = max 1≤i≤n {∆xi}. 2
8.设f(x)在{a,b连续,且f(a)=0,求证 f(a)dr≤ max 9.设0<6<1,求证 (1-t2)t 10.(1)设f(x)在[a,b上连续,且对{a,b上任一连续函数g(x)均 有mf(x)(x)dx=0,证明f(x)=0,x∈a,l 2)设f(x)在a,b上连续,且对所有那些在{a,上满足附加条件g(a) 9(b)=0的连续函数g(x),有f()(x)d=0证明:在,l上同样 有f(x)=0 11.设f(x),9(x)在{a,连续,求证: f(a)g(a)dr<1/f(a)d. 而且等号成立当且仅当9(x)=f(x)或f(x)=g(x),其中入为常数 12.设f(x),9(x)在[a,1连续,求证 而且等号成立当且仅当g(x)=f(x)(A≥0常数 13.设f(x)在[0,1连续,f(x)≥a>0,求证: f()f(a)dx 14.设y=y(x)(x≥0)是严格单调增加的连续函数,y(0) o(y)是它的反函数,证明 y(x)d+/o()y2ab(a≥0b≥0 3
8. 设f 0 (x)在[a, b]连续，且f(a) = 0，求证： ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z b a f(x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ (b − a) 2 2 max a≤x≤b ¯ ¯f 0 (x) ¯ ¯ . 9. 设0 < δ < 1，求证 limn→∞ R 1 δ (1 − t 2 ) ndt R 1 0 (1 − t 2) ndt = 0. 10．(1)设f(x)在[a, b]上 连 续 ， 且 对[a, b]上 任 一 连 续 函 数g(x)均 有 R b a f(x)g(x)dx = 0，证明f(x) ≡ 0, x ∈ [a, b]. (2)设f(x)在[a, b]上连续，且对所有那些在[a, b]上满足附加条件g(a) = g(b) = 0的 连 续 函 数g(x)， 有R b a f(x)g(x)dx = 0.证 明 ： 在[a, b]上 同 样 有f(x) ≡ 0. 11．设f(x), g(x)在[a, b]连续，求证： ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z b a f(x)g(x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ sZ b a f 2(x)dx · sZ b a g 2(x)dx 而且等号成立当且仅当g(x) = λf(x)(或f(x) = λg(x))，其中λ为常数。 12. 设f(x), g(x)在[a, b]连续，求证： sZ b a [f(x) + g(x)]2dx ≤ sZ b a f 2(x)dx + sZ b a g 2(x)dx 而且等号成立当且仅当g(x) = λf(x)(λ ≥ 0常数). 13. 设f(x)在[0, 1]连续，f(x) ≥ α > 0，求证： Z 1 0 1 f(x) dx ≥ 1 R 1 0 f(x)dx . 14. 设y = ϕ(x)(x ≥ 0)是严格单调增加的连续函数，ϕ(0) = 0, x = φ(y)是它的反函数，证明 Z a 0 ϕ(x)dx + Z b 0 φ(y)dy ≥ ab(a ≥ 0, b ≥ 0). 3
15.用一致连续定义验证 (1)f(x)=在0.,1上是一致连续的; (2)f(x)=sinx在(-∞,+∞)上是一致连续的; (3)f(x)=x2在a,上一致连续,但在(-∞,+∞)上不一致连续; (4)f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上不一致连续 s3微积分基本定理 计算下列定积分 (1)J (2)Jo Va-sd. (3)J (4)/=3 (5)Jnd.c (6)∫|nxdx; 2.求下列极限: (1)lim (2)im(+m+…+); (3)lm∑ ∞k=1 (4)lim1v/n(n+1)…(2n+1) 3.若f(x)连续,求F(x):
15. 用一致连续定义验证： (1) f(x) = √3 x在[0, 1]上是一致连续的； (2) f(x) = sin x在(−∞, +∞)上是一致连续的； (3) f(x) = x 2在[a, b]上一致连续，但在(−∞, +∞)上不一致连续； (4) f(x) = sin x 2在(−∞, +∞)上不一致连续. §3 微积分基本定理 1. 计算下列定积分： (1) R π 0 cos2 xdx； (2) R a 0 √ a − xdx； (3) R π 0 p 1 − sin2 xdx； (4) R −3 −4 dx x √ x2−4； (5) R 2 1 ln x x dx； (6) R e 1 e |ln x|dx； 2．求下列极限： (1) limn→∞ Pn k=1 1 n sin kπ n ； (2) limn→∞ ¡ 1 n + 1 n+1 + · · · + 1 2n ¢； (3) limn→∞ Pn k=1 k n2； (4) limn→∞ 1 n pn n(n + 1)· · ·(2n + 1)； 3．若f(x)连续，求F 0 (x)： 4
(1)F(x)=J0f(t)d; (2)F(a)=f(t)dt (3)F(x)=/cot; 4.求下列极限: (1)lim 2)lim 5.设f(x)在0,+∞)连续且单调递增,求证:函数 F(r) f(t)dt 在(0,+∞)上连续且单调递增。 §4定积分的计算 1.计算下列定积分 1)2(+3d (2)升 (3)∫:xV2-5dm; ()∫(√+) (5)0√4-x2d sin nm r cos n rdar (8)5
(1) F(x) = R x 2 0 f(t)dt； (2) F(x) = R b x f(t)dt； (3) F(x) = R x 3 x e t 2 dt； 4．求下列极限： (1) limn→∞ R x 0 cos t 2 dt x ； (2) limn→∞ ³R x 0 e t 2 dt´2 R x 0 e 2t2 dt ； 5．设f(x)在[0, +∞)连续且单调递增，求证：函数 F(x) = 1 x Z x 0 f(t)dt 在(0, +∞)上连续且单调递增。 §4 定积分的计算 1. 计算下列定积分 (1) R 2 1 (x+1)(x 2−3) 3x2 dx； (2) R 1 0 x 2+1 x4+1 dx； (3) R 1 5 − 1 5 x √ 2 − 5xdx； (4) R 9 4 ( √ x + √ 1 x )dx； (5) R 1 0 √ 4 − x 2dx； (6) R a 0 x 2 √ a 2 − x 2dx； (7) R π 2 0 sin mx cos nxdx； (8) R 1 0 dx (x2−x+1)3/2； 5