第三章复变函数的积分1作和式 S, =f(S)(z-zk-1)=Zf(Sk)△zkk=1k=1这里△z= Zk-Zk-1, △sk= zZk-1z,的长度,记S=max[△s}，当n无限增加且S→0时,1<k<≤n如果不论对C的分法及,的取法如何,S,有唯一极限.那么称这极限值为B函数f(z)沿曲线C的积分;Cn-1记为LknZk-1Zf(Sh)Azk(cf(z)dz = lim152Zn->0k=1x0结回DO束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 6 ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 k n k k n k n k k k S = f z − z = f z = = 作和式 − o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k C 1 2 max{ }, 1 k k n = s 记 , , 这里zk = zk − zk−1 sk = zk−1 zk的长度 当n无限增加且 → 0时, ( ) , , , 记 为 函 数 沿曲线 的积分 一极限 那么称这极限值为 如果不论对 的分法及 的取法如何 有 唯 f z C C k Sn ( )d lim ( ) . 1 k n k k C n f z z = f z = →
第三章复变函数的积分3.积分存在的条件及计算（1）化成线积分设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿逐段光滑的曲线C连续,则积分(f(z)dz 存在,且f(z)dz = (u(x, y)dx -v(x, y)dy +if v(x,y)dx + u(x, y)dy.（2）用参数方程将积分化成定积分设简单光滑曲线C的参数方程是(a≤t≤b)z = z(t) = x(t)+iy(t)则 Jc f(z)dz = f' f[z(t) z(t)dt.结运回H束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 7 3.积分存在的条件及计算 （1）化成线积分 连续 则积分 存在 且 设 沿逐段光滑的曲线 , ( )d , ( ) ( , ) ( , ) = + C f z z f z u x y iv x y C = − + + C C C f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy. （2）用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C 的参数方程是 z = z(t) = x(t) + iy(t) (a t b) f (z)dz f[z(t)] z (t)dt. C b a = 则
第三章复变函数的积分4.积分的性质设 f(z),g(z)沿曲线C连续(1) J f(z)dz = -J f(z)dz;(2) Jkf(z)dz=kJ。f(z)dz; (k为常数)(3) J[f(z) ± g(z)]dz = Jc f(z)dz± Jμg(z)dz;(4)设C由Ci,C,连结而成,则Jef(z)dz = Jc. f(z)dz + Jc. f(z)dz;(5)设曲线C的长度为L,函数 f(z)在C上满足[c f(z)dz ≤ J./f(z)ds ≤ ML.f(z)≤ M,那末结束00运回
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 8 4. 积分的性质 (1) ( )d ( )d ; = − − C C f z z f z z (2) kf (z)dz k f (z)dz; (k为常数) C C = (3) [ ( ) ( )]d ( )d ( )d ; = C C C f z g z z f z z g z z 设 f (z), g(z)沿曲线C连续. = + C C C f z z f z z f z z C C C 1 2 ( )d ( )d ( )d ; (4) , , 设 由 1 2连结而成 则 C C f z M f z z f z s ML C L f z C ( ) , ( )d ( )d . (5) , ( ) 那末 设曲线 的长度为 函数 在 上满足
第三章复变函数的积分5.柯西一古萨基本定理(柯西积分定理)如果函数,f(z)在单连通域B内处处解析那末函数f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为零：f. f(z)dz = 0.定理1如果函数f(z)在单连通域B内处处解析，那末积分f(z)dz与连结起点及终点的路线C无关结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 9 5. 柯西－古萨基本定理(柯西积分定理) . , ( )d ( ) 线 无 关 析 那末积分 与连结起点及终点的路 定理1 如果函数 在单连通域 内处处解 C f z z f z B C : ( )d 0. ( ) ( ) , = c f z z f z B C f z B 的积分为零 那末函数 沿 内的任何一条封闭曲线 如果函数 在单连通域 内处处解析
第三章复变函数的积分由定理得f(z)dz = ( f(z)dz = [" f(z)dzC1BBZ110C2定理2如果函数 f(z)在单连通域B内处处解析，那末函数 F(z)=f(S)d必为B内的一个解析函数,并且 F'(z)= f(z)结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 10 , ( ) ( ). , ( ) ( )d ( ) 0 F z f z F z f B f z B z z = = 解析函数 并且 析 那末函数 必为 内的一个 如果函数 在单连通域 内处处解 定理2 由定理得 = 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z = 1 0 ( )d z z f z z B B 0 z 1 z 0 z 1 z C1 C2 C1 C2