陕西师聚大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERS第五节柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考
第五节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
陕西师報大學陈数学与信息科学学院SHAANXINOOMA问题的提出设B为一单连通域，z为B中一点。f(z)在 z.不解析.如果f(z)在B内解析,那末Z - Zo所以(2)dz一般不为零，JCz. - ZoC为B内围绕z的闭曲线根据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线C的变化而改变，求这个值
一、问题的提出 , . 设 B 为一单连通域 z0 为 B中一点 d , ( ) 0 C z z z f z 所以 一般不为零 . ( ) ( ) , 0 0 如果 在 内解析 那末 在 z 不解析 z z f z f z B 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. . C 为 B内围绕 z0 的闭曲线
陕品师報大學陈数学与信息科学学院HANXN积分曲线C取作以z.为中心,半径为很小的的正向圆周-zo=S,由f(z)的连续性,在C上函数 f(z)的值将随着 S的缩小而逐渐接近于它在圆心 Z处的值f(z)f(z)dz. (8 缩小)dz将接近于61OZ-ZoZ-Zo(20) z= f(z0)fe 2-zo)dz2元if(z0）7.-Z0
, , 0 0 z z C z 的正向圆周 积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 由 f (z)的连续性, , ( ) 接近于它在圆心 0 处的值 在 上函数 的值将随着 的缩小而逐渐 z C f z d . ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 将接近于 缩小 C C z z z f z z z z f z C z z z f z d ( ) 0 0 d 2 ( ). 1 ( ) 0 0 0 z if z z z f z C
陕品师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXINORMAL柯西积分公式定理如果函数 f(z)在区域 D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，Z为C内任一点，那末f(z)f(zo) =dz2元 iJc z - ZoD证因为f(z)在z连续.f则V>0,S()>0
二、柯西积分公式 定理 C z z z f z i f z D z C f z D C D d . ( ) 2π 1 ( ) , , , ( ) , 0 0 于 0 为 内任一点 那末 内的任何一条正向简单 闭曲线 它的内部完全含 如果函数 在区域 内处处解析 为 z0 D 证 因为 f (z)在 z0 连续, C 则 0, ( ) 0
陕西师報大學陈数学与信息科学学院HAN当z-zl<时, f(z)- f(zo)<ε.设以z为中心,半径为R(R<)的正向圆周K:z-zo= R全在C的内部.1(2) dz=f 1(2)则dzYz- Zoz - Zof(z)- f(zo)f(z0) dz + fk=kdz.- ZoZ-ZoRD= 2nif(20)+ f, (2)- I(20)dzZ-Zo
z0 D C K , 当 z z0 时 ( ) ( ) . 0 f z f z , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K R C z z z f z d ( ) 0 则 K z z z f z d ( ) 0 K K z z z f z f z z z z f z d ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 0 K z z z f z f z if z d ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0