线性代数课程教案计算机与数学基础教学部博学厚德沈阳师范大学尚美健行ShenYangNormalUniversity公共数学课程教案课程名称线性代数课程性质公共必修学时学分45学时/3学分学年学期2021-2022 (1)系院部计算机与数学基础教学部授课教师吴志丹二〇二一年七月-1-
计算机与数学基础教学部 线性代数课程教案 公共数学课程 教案 课程名称 线性代数 课程性质 公共必修 学时学分 45 学时/3 学分 学年学期 2021-2022（1） 系 院 部 计算机与数学基础教学部 授课教师 吴志丹 二〇二一 年 七 月 - 1 -
计算机与数学基础教学部线性代数课程教案第一讲s1.1预备知识s12行列式的定义(1)一、预备知识：排列及其逆序数内容提要二、行列式的定义了解排列、逆序数，奇偶排列；知识目标掌握二、三阶行列式的概念及计算教学目标能力目标提高抽象思维能力，能运用对角线法则计算二、三阶行列式情感目标通过行列式的应用，激发学生勇于探索的精神教学重点二、三阶行列式的概念教学难点三阶行列式的对角线法则教学方法讲授法、练习法教学手段多媒体课件、雨课堂、超星学习平台等学时2学时授课内容教学活动【课堂导入】（5分钟）播放PPT。《线性代数》是数学学科中一门较有特色的课程，它是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用显得尤为重要。学好线性代数应该从以下几个方面做起：1.注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多，在学习过程中，要注意准确把握住概念的内涵，注意相关概念之间的区别与联系，以免解题时出现错误。线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混滑，基本运算与基本方法要过关。2.注重知识点的衔接与转换，努力提高综合分析能力。线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。3.注重逻辑性以及叙述表述-2 -
计算机与数学基础教学部 线性代数课程教案 第一讲 §1.1 预备知识 §1.2 行列式的定义(1) 内容提要 一、预备知识：排列及其逆序数 二、行列式的定义 教学目标 知识目标 了解排列、逆序数，奇偶排列； 掌握二、三阶行列式的概念及计算 能力目标 提高抽象思维能力，能运用对角线法则计算二、三阶行列式 情感目标 通过行列式的应用，激发学生勇于探索的精神 教学重点 二、三阶行列式的概念 教学难点 三阶行列式的对角线法则 教学方法 讲授法、练习法 教学手段 多媒体课件、雨课堂、超星学习平台等 学 时 2 学时 授课内容 教学活动 【课堂导入】（5 分钟） 《线性代数》是数学学科中一门较有特色的课程，它是研究代数学中线性关系的经 典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技 术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下, 可以转化或近似转化为线性问题， 因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工 具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校本科各专业的一 门重要的基础理论课，其地位和作用显得尤为重要。学好线性代数应该从以下几个方面 做起： 1.注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多，在学习过程中，要注意准确把握住概念的内涵，注意相关概 念之间的区别与联系，以免解题时出现错误。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关。 2.注重知识点的衔接与转换，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方 法灵活多变，只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与 切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就 较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 3.注重逻辑性以及叙述表述 播放 PPT。 - 2 -
线性代数课程教案计算机与数学基础教学部线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。线性代数课程的主要内容包括：行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵特征值问课件演示课题与二次型。本节课开始，我们学习第一章行列式，在学习行列式之前需要一些预备知程各个部分识。内容之间的关系。【讲解新知】教师板书。一、预备知识（25分钟）1.和号与积号(1)和号T如a=a+a++an，表示a,aa的连加和。1i=l1-其中i称为下标，下标是虚拟变量，可由任意字母替代，如乙α,=aak=i=1(=0在本课程中，我们还要采用双重和号，如FZa,=a+a2+..+an合合+a2+a22+..a2n+....+am+am2+..+amm表示m·n个数a,(i=1,2,.,m,j=1,2,",n)的连加和。（2）积号a=aa,an，表示aaa,a,的连乘积i=lII (, -x,) =( -)(, -)-(x,-x) ( --2) (,-)(x, -x-)表sisis示所有可能的(x,-x)(i>)的连乘积。2.排列及其性质在n阶行列式的定义中，要用到n阶排列的一些性质，先介绍排列的定义。定义1由自然数1,2,3,,n(n>1)组成的一个无重复有序数组i,i2，i,，称为—-3-
计算机与数学基础教学部 线性代数课程教案 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要 原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。应当搞清公 式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。 线性代数课程的主要内容包括：行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵特征值问 题与二次型。本节课开始，我们学习第一章行列式，在学习行列式之前需要一些预备知 识。 【讲解新知】 一、预备知识（25 分钟） 1.和号与积号 （1）和号 如 1 2 1 n i n i aaa a = ∑ =+++ ,表示 1 2 , n aa a 的连加和。 其中i 称为下标,下标是虚拟变量,可由任意字母替代,如 1 1 1 10 n nn i kt i kt aaa − + = = = ∑∑∑ = = . 在本课程中,我们还要采用双重和号,如 11 12 1 1 1 m n ij n i j aaa a = = ∑∑ = + ++ 21 22 2n ++ + aa a + m m 1 2 mn + + ++ aa a , 表示m n⋅ 个数a i mj n ij ( = = 1, 2, , ; 1, 2, , ) 的连加和。 （2）积号 1 2 1 n i n i a aa a = ∏ = , 表示 123 n aaa a 的连乘积． ( ) 1 i j jin x x ≤ ≤≤ ∏ − = − − −⋅− − − ( x xxx x x xx x x x x 2131 1 3 2 )( ) ( n ) ( ) ( n nn 2 ) ( −1 ) 表 示所有可能的( xxij i j − > )( ) 的连乘积。 2. 排列及其性质 在 n 阶行列式的定义中，要用到n 阶排列的一些性质,先介绍排列的定义。 定义 1 由自然数1, 2,3, , 1 n n( > )组成的一个无重复有序数组 n i ,i ,i 1 2 ,称为一 课 件 演 示 课 程各个部分 内容之间的 关系。 教师板书。 - 3 -
计算机与数学基础教学部线性代数课程教案个n级排列。例1由自然数2,3,4可组成几级排列？分别是什么？解组成一个三级排列，它们是234,243,324,342,423,432。显然，三级排列共有3！=6个，所以n级排列的总数为n！个。定义2在一个n级排列i,2i.中，如果较大数i,排在较小数i,之前，即i>i则称这一对数i构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。可表示为t(i,i2,.,).例2求(21534），T(32541)。学生练习。解在五级排列21534中，构成逆序数对的有21,53,54，因此t(21534）=3。启发学生，给在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31,21,54,51,41，因此t(32541)=6出逆序数的定义3如果排列i,i2，i的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的逆序数两种求法。为奇数，则称它为奇排列例3试求t(123...n）(n(n-1)...321),并讨论其奇偶性。解易易见在n阶排列1,2,3…·n中没有逆序，所以(123.n)=0,这是一个偶排列，它具有自然顺序，故又称为自然排列。在n,n-1,…·3,2,1中，只有逆序，没有顺序，故有t(n(n-1).-21)=(n-1)+(n-2)+ 2+1 =n(n-1)2可以看出，排列n,n-13,2,1的奇偶性与n的取值有关，从而当n=4k或n=4k+1时这个排列为偶排列，否则为奇排列。定义4排列i,iz，i，中，交换任意两数i与i，的位置，称为一次交换，记为(i,i)。如21534（L3）→23514，一般，我们有以下结论。提示学生：此定理1任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性。处为后面行定理2在全部n级排列中（n≥2），奇偶排列各占一半。列式定义奠定理论基础。4
计算机与数学基础教学部 线性代数课程教案 个 n 级排列。 例１ 由自然数2,3, 4 可组成几级排列？分别是什么？ 解 组成一个三级排列,它们是234, 243, 324,342, 423, 432 。 显然，三级排列共有3！=6个，所以n 级排列的总数为n！个。 定义２ 在一个n 级排列 12 n i ,i , i 中，如果较大数 si 排在较小数 t i 之前，即 s t i i > ， 则称这一对数 s t i i 构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。可表示为 12 n τ (i ,i , i ) 。 例２ 求 τ τ （21534 32541 ）,（ ）。 解 在五级排列21534 中，构成逆序数对的有21,53,54 ，因此τ（21534 =3 ） 。 在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31,21,54,51,41，因此τ（32541 =6 ） 。 定义3 如果排列 12 n i ,i , i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的逆序数 为奇数，则称它为奇排列。 例3 试求τ (123n) τ (n n( 1) 321 − ) ,并讨论其奇偶性。 解 易见在 n 阶排列1, 2,3,n 中没有逆序,所以τ (123 0 n) = ,这是一个偶排 列,它具有自然顺序,故又称为自然排列。 在n n, 1, 3, 2,1 − 中,只有逆序,没有顺序,故有 1 ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 2 τ nn n n − = − + − + += − n n 可以看出，排列 n n, 1, 3, 2,1 − 的奇偶性与 n 的取值有关,从而当 n k = 4 或 n k = + 4 1 时这个排列为偶排列,否则为奇排列。 定义 4 排列 12 n i ,i , i 中，交换任意两数 t i 与 si 的位置，称为一次交换，记为 s t （ ，i i)。 如 (1,3) 21534 23514 → ,一般,我们有以下结论。 定理 1 任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性。 定理 2 在全部n 级排列中（n ≥ 2)，奇偶排列各占一半。 学生练习。 启发学生，给 出逆序数的 两种求法。 提示学生：此 处为后面行 列式定义奠 定理论基础。 - 4 -
线性代数课程教案计算机与数学基础教学部教师板书。二、行列式的定义（40分钟）1.二阶行列式aa称此为二阶行将a1,ai2,α21,a22四个数排成两行两列的数表，记作a2122aa12列式。用D表示，并规定D==aia22-ai2a21，其中a,叫做二阶行列式[a21a22的元素，元素α的第一个下标i称为行标，第二个下标j称为列标。如αz表示这个元素位于第一行、第二列。[3 -15-1例1计算二阶行列式和[1222教师示范，学生练习。[3-1]=3×2-(-1)×1=7解12J122设D例2，问入为何值时，D±0。?2[1解D=2元2令D￥0则元±0或￥2，故当0或2时，12D+0。2.三阶行列式aa2a3类似地，可以定义三阶行列式。设有九个数排成三行三列的数表a21a22a23312a3a23并规定2ia22a23=a23+ai22+a22a313233-a22-221a331322由上式可见，三阶行列式共有3！=6项，每项均为选自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以正负号。三阶行列式可用如下图的规律来记忆，称为对角线法则。教师板书1a2412=2+a223+Q232学生观察发现规律。22—2233—Q12
计算机与数学基础教学部 线性代数课程教案 二、行列式的定义（40 分钟） 1.二阶行列式 将 11 12 21 22 a ,a ,a , a 四个数排成两行两列的数表，记作 21 22 11 12 a a a a ，称此为二阶行 列式。用 D 表示，并规定 11 12 11 22 12 21 21 22 a a aa aa a a D = = − ，其中 ij a 叫做二阶行列式 的元素，元素 ij a 的第一个下标i 称为行标，第二个下标 j 称为列标。如 12 a 表示这个元素 位于第一行、第二列。 例 1 计算二阶行列式 3 1 1 2 − 和 5 1 2 2 − 。 解 3 1 1 2 − = × −− × = 3 2 ( 1) 1 7 例 2 设 2 1 = 2 λ λ D ，问λ 为何值时， D ≠ 0 。 解 2 1 = 2 λ λ D 2 = − λ λ2 令 D ≠ 0 则λ ≠ 0 或λ ≠ 2，故当λ ≠ 0 或λ ≠ 2时， D ≠ 0 。 2.三阶行列式 类似地，可以定义三阶行列式。设有九个数排成三行三列的数表 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa 并规定 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa 11 22 33 12 23 31 13 21 32 =++ aaa aaa aaa − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 由上式可见，三阶行列式共有3!=6 项，每项均为选自不同行、不同列的三个元素的 乘积再冠以正负号。三阶行列式可用如下图的规律来记忆，称为对角线法则。 11 22 33 12 23 31 13 21 32 =++ aaa aaa aaa 11 23 32 12 21 33 13 22 31 − a a a − a a a − a a a 教师板书。 教师示范， 学生练习。 教师板书 学生观察 发现规律。 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 aaa aa aaa aa aaa aa − − − + + + - 5 -