陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.6 高阶导数

陕西师報大學乐数学与信息科学学院2SHAANXLNORMALUNIVERSI第六节高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考

第六节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考

陕西师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXIC问题的提出问题：(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同？回答：(1）解析函数有各高阶导数(2）高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示，这与实变函数完全不同解析函数高阶导数的定义是什么？

一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么?

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXIE主要定理定理解析函数 f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶n!f(z)导数为：f(n)(z)(n =1,2,...)dz2n il(z-z0)n+1其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D证设z为D内任一点，先证n=1的情况

二、主要定理 定理 , . ( ) d ( 1,2, ) ( ) ( ) 2π ! : ( ) ( ) , 0 1 0 0 ( ) D C f z D z z n z z f z i n f z f z n C n n 任何一条正向简单闭曲 线 而且它的内部全含于 其中 为在函数 的解析区域 内围绕 的 导数为 解析函数 的导数仍为解析函数 它的 阶       证 , 设 z0 为 D内任一点 先证 n  1的情况

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXENORMAINEf(zo +△z)- f(zo)根据导数的定义, f'(zo)= limAz△z>0(z)从柯西积分公式得f(z)dz,2元iJZ01f(z)dzf(zo +z)2元i Jc z - Zo - △zf(zo +△z)- f(zo)Azf(z)f(z)dz-dz2元△ziZo-Az7-Z0

根据导数的定义, z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 从柯西积分公式得 d , ( ) 2 1 ( ) 0 0     C z z z f z i f z d , ( ) 2 1 ( ) 0 0         C z z z z f z i f z z z f z z f z  (   )  ( ) 0 0 d , ( ) d ( ) 2 1 0 0              C C z z z f z z z z z f z zi

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINUEf (z)dz2元i Jc(z - zo)(z - zo - z)f(z)△zf (z)dzdz +2元iJc(z- zo)(z-zo -z)2元iJ=1△zf (z)dz2元Jc(z - z0)(z - zo - Az)Azf(z)ds2元/02-2012-20-A2因为f(z)在C上解析，所以在C上连续

       C z z z z z z f z i d ( )( ) ( ) 2 1 0 0             C C z z z z z z zf z i z z z f z i d ( ) ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1 0 2 0 2 0  I         C z z z z z z zf z I d ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0         C s z z z z z z f z d ( ) 2 1 0 2 0 因为 f (z)在C 上解析, 所以在 C 上连续