陕品师大學乐数学与信息科学学院?SHAANXLNORMALUNIVERSI第四节原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考
第四节 原函数与不定积分 一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考
陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMALNE主要定理和定义1.两个主要定理：定理一如果函数f(z)在单连通域 B内处处解析那末积分f(z)dz与连结起点及终点的路线C无关.由定理一可知：解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关，（如下页图）
一、主要定理和定义 定理一 . ( )d ( ) , 无关 那末积分 与连结起点及终点的路 线 如果函数 在单连通域 内处处解析 C f z z f z B C 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理:
陕品师敦大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N如果起点为 zo,终点为 z1BBZ11010C2" f(z)dzf(z)dz = [ f(z)dz=C如果固定 zo,让 z在B内变动,并令 zi= z,便可确定 B内的一个单值函数F(z)=~f(S)d
B B 0 z 1 z 0 z 1 z C1 C2 C1 C2 , , 0 1 如果起点为 z 终点为 z 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z 1 0 ( )d z z f z z , , , 0 1 1 如果固定 z 让 z 在 B内变动 并令 z z ( ) ( )d . 0 z z 便可确定 B内的一个单值函数 F z f
陕西师報大學陈数学与信息科学学院AANORMAINE定理二如果函数 f(z)在单连通域 B内处处解析那末函数 F(z)=[~f()d 必为 B内的一个解析函数,并且 F(z)=f(z)证利用导数的定义来证设z为B内任一点ZB以z为中心作一含于B内的小圆K
, ( ) ( ). ( ) ( )d ( ) , 0 F z f z F z f B f z B z z 析函数 并且 那末函数 必为 内的一个解 如果函数 在单连通域 内处处解析 定理二 证 利用导数的定义来证. B 设 z 为 B内任一点, z K, z B 小圆 以 为中心作一含于 内的 K
陕西师聚大學味数学与信息科学学院SHAANXINOMN取△z充分小使 z + △z 在 K 内, 由 F(z)的定义z+Azf(s)d -"f(s)dsF(z + △z)- F(z) =Z0由于积分与路线无关，z+Azf(S)d的积分路线可先取z.到z,JZo(注意：这一段与(S)d的B路线相同）SZo然后从z沿直线到z+△z
B z K 取 z 充分小使 z z 在 K 内, z z F(z z) F(z) z z z z z f f 0 0 ( )d ( )d 由于积分与路线无关, ( )d , 0 0 f z z z z z 的积分路线可先取 到 然后从 z 沿直线到 z z, 0 z ) ( : ( )d 0 路线相同 注意 这一段与 的 z z f 由F(z)的定义