HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2:求过三点M1(2,-1,4),M2(1,3,-2)和M3(O,2,3)的 平面的方程 解:先找出该平面的法向量n 由于n与向量MM2,M1M都垂直 而MM2=(-3,4,-6)M1M3=(-2,3,-1)|n 可取n=M1M2×M1M3 j k M 34-6=14i+9-k Ma 所以,所求平面的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y z-15=0 OPrGSEXUE CAOD 高等粤
n M3 M2 M1 解: 先找出该平面的法向量n. 由于n与向量M1M2 , M1M3都垂直. 而M1M2=(−3, 4, −6) M1M3=(−2, 3, −1) 可取n = M1M2 M1M3 2 3 1 3 4 6 − − = − − i j k = 14i + 9j − k 例2: 求过三点M1 (2, −1, 4), M2 (− 1, 3, −2)和M3 (0, 2, 3) 的 平面的方程. 所以, 所求平面的方程为: 14(x − 2) + 9(y + 1) − (z − 4) = 0 即: 14x + 9y − z − 15 = 0
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (二)平面的三点式方程 设平面过不共线的三点M1(x1,y1,z1) M2(x2,y2,z2) 3(x3,y3,23) 对于平面上任一点M(x,y,z) MM,MM,MM共面→(MM×MM2)MM1=0 即 x-x1y-y12-21 0.(2) 平面的三点式方程 AO 高等粤
M1M， M1M2， M1M3 共面 ( ) 0, M1 M M1 M2 M1 M3 = 即 (二) 平面的三点式方程 设平面 过 不共线的三点 M2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), M3 (x 3 , y 3 , z 3 ), M1 (x 1 , y 1 , z 1 ), 对于平面上任一点 M (x , y , z), 0. 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 = − − − − − − − − − x x y y z z x x y y z z x x y y z z 平面的三点式方程. (2)
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (三)平面的截距式方程 设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0), Q(0,b,0),R(0,0,c)三点 贝 R x-a y ab0=0 0 c 有bcx+acy+abz=abc X 当a,b,C非零时 得 xy+2=1(3) b AO 高等粤
设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点 o y P x z Q R (三) 平面的截距式方程 0. 0 0 = − − − a c a b 则 x a y z 有 bcx + acy + abz = abc 得 + + =1 c z b y a x 当 a,b, c 非零时 (3)
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (四)平面的一般方程 1、定理1:任何x,y,2的一次方程.Ax+By+Cz +D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是 n=(4,B,C) 证:A,B.C不能全为0,不妨设A≠0,则方程可以化为 x-()+B(y-0)+C(z-0)=0 它表示过定点M0(-2,0,0),且 法向量为n=(4,B,C)的平面 注:一次方程:Ax+By+Cz+D=0 称为平面的一般方程 AO 高等粤
(四)平面的一般方程 1、定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = (A, B, C ) 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为 ( ) + ( − 0) + ( − 0) = 0 − − B y C z A D A x 它表示过定点 , 且 法向量为 n = (A, B, C ) 的平面. ( ,0,0) 0 A D M − 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (4) 称为平面的一般方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例3:已知平面过点M-1,2,3),且平行于 平面2x-3+4z-1=0,求其方程 解:所求平面与已知平面有相同的法向量n =(2-3,4) (x+1)-3(-2)+4(z-3)=0 2x-3+4z-4=0 AO 高等粤
例3: 已知平面过点M0 (−1, 2, 3), 且平行于 平面2x −3y + 4z −1= 0, 求其方程. 解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =(2 −3, 4) 2(x +1) − 3(y −2) + 4(z − 3) = 0 即: 2x − 3y + 4z −4 = 0