21 3、-m 四、证明 1、若mx。=0,数列(y)有界，则mxya=0。 2、若mxn=a,a>0，则存在正整数N,当n>N时，xn>0。 3、若(x,)是非负数列，mxn=a,则a≥0。 6
6 ２、 1 1 lim 2 = + → n n n ３、 4 sin 1 lim n n→ n 四、证明 １、若 lim = 0 → n n x ，数列｛ n y ｝有界，则 lim = 0 → n n n x y 。 ２、若 xn a a n lim = , → ＞0 ，则存在正整数 N ,当 n N 时， n x ＞0。 ３、若｛ n x ｝是非负数列， lim x a, n n = → 则 a ≥0
练习三 一、是非判断题 1、在某过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，则fx)+g(x)无极限。[】 2、在某过程中，若fx),g(x)均无极限，则fx)+gx)无极限。【】 3、在某过程中，若fx)有极限，g(x)无极限，则f(x)g(x)无极限。【】 4、在某过程中，若f(x),g(x)均无极限，则f(x)g(x)必无极限。【】 5、如果fx6)=f(x0),但f)不存在，则mf不存在。【】 6、如果fx)与fx)都存在，则mf)必存在。【】 7、如果mf(x)=A,则mfn)=A。【】 8、如果mfm=A,则mf)=A。【】 9、如果f(x)>0,且mfx)=A,那么A≥0。【] 10、如果mfx)=A,X>0且x>X时fx)≥0，那么A≥0。【] 二、填空愿 、f=荷，则0)月 f0)=」 2、如果fx)=[x],那么f0*)= 一f0)= -盆相or一- x≤0， 当b= 时，mf(x)=1。 活24，= 5、根据极限的定义证明m(3x-)=8,对任给 一，取6=则 当时，有1(3x-)-81<6,·m(3x-)=8
7 练习三 一、是非判断题 １、在某过程中，若 f (x) 有极限， g(x) 无极限，则 f (x) + g(x) 无极限。[ ] ２、在某过程中，若 f (x) , g(x) 均无极限，则 f (x) + g(x) 无极限。 [ ] ３、在某过程中，若 f (x) 有极限, g(x) 无极限，则 f (x) g(x) 无极限。 [ ] ４、在某过程中，若 f (x) , g(x) 均无极限，则 f (x) g(x) 必无极限。[ ] ５、如果 ( ) ( ) 0 0 + − f x = f x ,但 ( ) 0 f x 不存在，则 lim ( ) 0 f x x→x 不存在。 [ ] ６、如果 ( ) 0 + f x 与 ( ) 0 − f x 都存在，则 lim ( ) 0 f x x→x 必存在。 [ ] ７、如果 f x A x = →+ lim ( ) ，则 f n A n = → lim ( ) 。 [ ] ８、如果 f n A n = → lim ( ) ，则 f x A x = →+ lim ( ) 。 [ ] ９、如果 f (x) ＞0，且 lim ( ) , 0 f x A x x = → 那么 A ≥0。 [ ] 10、如果 f x A x = →+ lim ( ) ， X 0 且 x ＞ X 时 f (x) ≥0，那么 A ≥0。 [ ] 二、填空题 1、 x x f (x) = ，则 (0 ) + f = ， = − f (0 ) 。 2、如果 f (x) = [x] ，那么 (0 ) + f = ， = − f (0 ) 。 3、设 + = , , ( ) ax b e f x x 0, 0, x x ，则 (0 ) + f = ， = − f (0 ) _， 当 b = 时， lim ( ) 1 0 = → f x x 。 4、若 4 3 2 lim 2 3 = − − + → x x x k x ，则 k = ． 5、根据极限的定义证明 lim (3 1) 8 3 − = → x x ，对任给 ，取 = 则 当 时，有︱ (3x −1) − 8 ︱＜ , ∴ lim (3 1) 8 3 − = → x x
三、根据函数极限的定义证明 1、(2x+)=5 2典特 a典=4 0 四、计算 1、若阳-5，求ah的 五、如果f(x)在x,的某邻域内有界，mg(x)=0,根据极限定义证明m[f(x)g(x刃=0
8 三、根据函数极限的定义证明 1、 lim (2 1) 5 2 + = → x x 2、 4 3 3 2 1 lim 1 = + + → x x x 3、 4 4 4 lim 2 2 = → x − x x 4、 0 cos lim = →+ x x x 四、计算 １、 若 5 1 lim 2 1 = − + + → x x ax b x ，求 a,b 的值。 ２、 若 ) 0 1 1 lim ( 2 − − = + + → ax b x x x ，求 a,b 的值。 五、如果 f (x) 在 0 x 的某邻域内有界， lim ( ) 0 0 = → g x x x ，根据极限定义证明 lim [ ( ) ( )] 0. 0 = → f x g x x x
练习四 一、是非判断题 1、变量在变化过程中，其绝对值越变越小，也不一定是无穷小。【 2、变量在变化过程中，会变得比任何数都要小，则它是无穷小。【 1 3、很小很小的数是无穷小。【】 4、零是无穷小。「 1 5、无穷小是一个函数。[】 众在某变他过程中，若四是无方大，则石是无方小【】 不如果)是无方小，则网是无穷大.【】 1 8、两个无穷小的商是无穷小。【】 9、xsmL在x→0时是无穷小。[】 10、f)=是无穷大.【1 二、填空题 1 1设y=x中，当x→一时，y是无穷小量，当x→—时，y是无穷大量。 2、设y=anx,当x→_时，y是无穷小量，当x→时，y是无穷大量。 3、设a(x)是无穷小量，E(x)是有界变量，则a(x)E(x)为_ 4、如果mfx)=0且 一那么即0 5、如果mfx)=0,则fx)在x→x时，极限属于 一。（存在，不存在） 6、两个同号的无穷大之和是 7、m)=A当且仅当x→，时1fx)-A1是 8、如果+是无穷大，则x x+1 三、根据定义证明 小当4时为无方 2、3-l当x→0时为无穷大
9 练习四 一、是非判断题 1、变量在变化过程中，其绝对值越变越小，也不一定是无穷小。[ ] 2、变量在变化过程中，会变得比任何数都要小，则它是无穷小。[ ] 3、很小很小的数是无穷小。 [ ] 4、零是无穷小。[ ] 5、无穷小是一个函数。 [ ] 6、在某变化过程中，若 f (x) 是无穷大，则 ( ) 1 f x 是无穷小。[ ] 7、如果 f (x) 是无穷小，则 ( ) 1 f x 是无穷大。[ ] 8、两个无穷小的商是无穷小。[ ] 9、 x x 1 sin 在 x →0 时是无穷小。[ ] 10、 x f x 1 ( ) = 是无穷大。[ ] 二、填空题 1、设 1 1 + = x y ，当 x → 时， y 是无穷小量，当 x → 时， y 是无穷大量。 2、设 y = tan x ，当 x → 时， y 是无穷小量，当 x → 时， y 是无穷大量。 3、设 a(x) 是无穷小量， E(x) 是有界变量，则 a(x)E(x) 为 。 4、如果 lim ( ) 0 0 = → f x x x 且 ，那么 = → ( ) 1 lim x x f x 。 5、如果 = → lim ( ) 0 f x x x ，则 f (x) 在 0 x → x 时，极限属于 。（存在，不存在） 6、两个同号的无穷大之和是 。 7、 lim ( ) , 0 f x A x x = → 当且仅当 0 x → x 时︱ f (x) − A ︱是 。 8、如果 1 1 2 + + x x 是无穷大，则 x → 。 三、根据定义证明 1、 1 4 + − x x 当 x →4 时为无穷小。 2、 x 3x −1 当 x →0 时为无穷大