证下面只给出(1)的证明,(2)的证明类似 由于jmxn=1<+∞,由极限的性质知,存在正整数N,当n>N n→0 时 因此 X y 由定理9.32即得所需结论。 在例932中,n+3~1,(m→),在例933中,sin 2n n 2(n→∞),利用定理932立刻就可得出∑2n=n H+3收敛与∑sm发散 的结论
在例 9.3.2 中， nn n − + 3 2 3 ～ 2 2 1 n ( n ∞→ )，在例 9.3.3 中，sin n π ～ n π ( n → ∞ )，利用定理 9.3.2'立刻就可得出∑∞ = − + 1 3 2 3 n nn n 收敛与 1 π sin n n ∞ = ∑ 发散 的结论。 证 下面只给出（1）的证明，（2）的证明类似。 由于lim n→∞ n n y x = l < + ∞ ，由极限的性质知，存在正整数 N，当 n >N 时， n n y x < l+1， 因此 xn < (l+1) n y 。 由定理 9.3.2 即得所需结论
例94判断正项级数∑(2-1的敛散性 解因为 cOS 1+-+0 +O 所以 OS Im 由∑1收敛,即知∑-0收敛。 n=I n
例 9.3.4 判断正项级数 2 1 1 π e cos n n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 的敛散性。 解 因为 n n π − cose 2 1 = 2 2 2 2 11 1 π 1 1 1 2 o o nn n n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ + + −− + ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 2 2 2 π 1 1 1 2 o n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠， 所以 limn→∞ 2 1 2 π e cos 1 n n n − = 1+ 2 π 2 。 由 ∑ ∞ =1 2 1 n n 收敛，即知 2 1 1 π e cos n n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 收敛
Cauchy判别法与 D'Alembert判别法 定理933( auchy判别法)设∑xn是正项级数,r=im{xn, n=1 (1)当r<1时,级数∑x收敛; 2)当r>1时,级数∑xn发散; (3)当r=1时,判别法失效,即级数可能收敛,也可能发散
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法 定理 9.3.3(Cauchy 判别法) 设∑ ∞ n=1 n x 是正项级数，r = n ∞→ lim n n x ， 则 (1)当 r< 1 时，级数∑ ∞ n=1 n x 收敛； (2)当 r >1 时，级数∑ ∞ n=1 n x 发散； (3)当 r = 1 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散