注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理932的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”)，所以定理 9.3.2 的 条件可放宽为：“存在正整数 N 与常数 A>0，使得 xn ≤A n y 对一切 n >N 成立
注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理932的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立”。 例9.3.2判断正项级数>2,的敛散性 解容易看出当n>3时成立 n+3 2 由∑的收敛性,可知∑”+3收敛
例 9.3.2 判断正项级数∑ ∞ = − + 1 3 2 3 n nn n 的敛散性。 解 容易看出当 n > 3 时成立 nn n − + 3 2 3 2 1 n < ， 由∑ ∞ =1 2 1 n n 的收敛性，可知∑ ∞ = − + 1 3 2 3 n nn n 收敛。 注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”)，所以定理 9.3.2 的 条件可放宽为：“存在正整数 N 与常数 A>0，使得 xn ≤A n y 对一切 n >N 成立
例9.33判断正项级数∑sm的敛散性。 n 解当x∈0.时,成立不等式sinx≥2x,所以当n≥2时, 丌2丌2 SIn n t n 由于∑是发散的,可知∑sm匹发散 n
例 9.3.3 判断正项级数 1 π sin n n ∞ = ∑ 的敛散性。 解 当 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π ∈ 2 x ,0 时，成立不等式 sin x ≥ 2 π x ，所以当 n ≥ 2 时， sin n π ≥ 2 π ⋅ n π = n 2 ， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n 是发散的，可知 1 π sin n n ∞ = ∑ 发散
定理932(比较判别法的极限形式)设∑x与∑y是两个正 n=1 项级数,且 yn 则 1)若0≤1<+,则当∑y收敛时,∑xn也收敛; (2)若0<1+,则当∑y发散时,∑x也发散。 n=1 所以当0<1<+∞时,∑x与∑y同时收敛或同时发散
定理 9.3.2'（比较判别法的极限形式 ） 设 ∑ ∞ n =1 n x 与 ∑ ∞ n =1 n y 是两个 正 项级数，且 limn→∞ n n y x = l (0 ≤ l ≤ + ∞ )， 则 （ 1）若 0 ≤ l < + ∞ ，则当 ∑ ∞ n =1 n y 收敛时， ∑ ∞ n =1 n x 也收敛； （ 2）若 0 < l ≤ + ∞ ，则当 ∑ ∞ n =1 n y 发散时， ∑ ∞ n =1 n x 也发散。 所以当 0 < l < ∞+ 时， ∑ ∞ n =1 n x 与 ∑ ∞ n =1 n y 同时收敛或同时发散
证下面只给出(1)的证明,(2)的证明类似 由于lm=1<+∞,由极限的性质知,存在正整数N,当n>N n→0 时 因此 X y 由定理9.32即得所需结论
证 下面只给出（1）的证明，（2）的证明类似。 由于lim n→∞ n n y x = l < + ∞ ，由极限的性质知，存在正整数 N，当 n >N 时， n n y x < l+1， 因此 xn < (l+1) n y 。 由定理 9.3.2 即得所需结论