方法1.投影法 2是上下结构 2=22(x,y) 假设平行于z轴且穿过闭区域Q 内部的直线与闭区域Ω的边界曲 面S相交不多于两点. 把闭区域Ω投影到xOy面上， 得一平面区域D, 积分区域可表示成 2=《x,y,zx,y)eD(xy)s:≤2(x,y)》 dv-ffaxdrd HIGH EDUCATION PRESS
面 相交不多于两点． 内部的直线与闭区域 的边界曲 假设平行于 轴且穿过闭区域 S z 方法1 . 投影法 x y z o Dxy2 S 1 S 1 z z x y = ( , ) 2 z z x y = ( , ) 把闭区域投影到xOy面 上, 得一平面区域Dxy 积分区域可表示成 = (x, y,z)(x, y) Dxy ,z1 (x, y) z z2 (x, y) = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y z x y D x y f x y z z x y 是上下结构
方法1.投影法 2=《x,y,x,y)∈Dw,(x,y)≤2≤(x,y)} a飞3a=dd: 先一后二 (1)若D为X型区域Dn={(x,川a≤x≤b,x)y≤h(x》 即2=《xy,za≤x≤b,()sy≤(x),x,八≤x,y)} fxxh=efx :三次积分 (2)若D,为Y型区域D,={(xy川c≤y≤d,x(y)≤x≤x2(y)} 即Q={《x,yzc≤y≤d,x(y)x≤x(y),(x,y):≤2()} ∬fx,x= 三次积分
{ ( , ) | , D x y a x b xy = f x y z dv ( , , ) = 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz 三次积分 1 2 （1）若D y x y y x ( ) ( )} xy 为X型区域： { ( , ) | , D x y c y d xy = f x y z dv ( , , ) = 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) d x y z x y c x y z x y dy dx f x y z dz 1 2 （2）若Dxy 为Y型区域： x y x x y ( ) ( )} 即 =（ x, y,z）a x b, y1 (x) y y2 (x) ,z1 (x, y) z z2 (x, y) 即 =（ x, y,z）c y d, x1 ( y) x x2 ( y) ,z1 (x, y) z z2 (x, y) = (x, y, z) (x, y) Dx y , z1 (x, y) z z2 (x, y) = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y z x y D x y f x y z z x y 先一后二 三次积分 方法1 . 投影法
>若Ω是前后结构 若用平行于x轴的直线穿过2，与其边界曲面的 交点至多有两个 将2投影到yoz面上。 (didads =化成三次积分 >Ω为左右结构-情形类似 HIGH EDUCATION PRESS
➢ 若 是前后结构 f x y z dv ( , , ) 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) yz x y z x y z D = d f x y z dx = 化成三次积分 ➢ 为左右结构-情形类似 若用平行于x 轴的直线穿过,与其边界曲面的 交点至多有两个， 将 投影到 yoz 面上
例1.计算三重积分 川。xdxdyd:,其中2为三个坐标 面及平面x+2y+2=1所围成的闭区域 0≤x≤1 解：2：0≤y≤(1-x) 0≤z≤1-x-2y f川xdxdyd: dxdydz -Jxdx-x-2y)dy =6x-2x2+x3ax=0 48 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算三重积分 d d d , 其中 为三个坐标 x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解: : x d x d y d z − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y −x− y z 1 2 0 d = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0 z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1 y − x 0 x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2.截面法（先二后一） 2={(x,y,川G≤z≤c2,(x,y)eD} ∬a-kd HIGH EDUCATION PRESS
z 1 2 {( , , ) | , ( , ) }z = x y z c z c x y D f x y z dv ( , , ) 2 1 ( , , ) z c c D = d z f x y z dxdy 方法2. 截面法 ( 先二后一 )