高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 主要问题-求方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设y=q(x)在区间I上有n阶导数, F(x,q(x),p(x),…,p(x)=0 微分方程的解的分类 (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同 Http://www.heut.edu.cn
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 微分方程的解 微分方程的解的分类 三、主要问题--求方程的解
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例y=y,通解y = ce +y=0,通解y=c1sinx+c2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件 Http://www.heut.edu.cn
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = c1 x + c2 x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题 阶 y=f(x, y) X=x J 过定点的积分曲线; 「y"=∫(x,y,y) 阶 05x=x0 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 Http://www.heut.edu.cn
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3验证:函数x=C1c0skt+C2 sin kt是微分 方程,+k2x=0的解并求满足初始条件 t=0 二A9 山在 =0的特解 t=0 解 -kCi sin kt +hC, cos kt, dt d'x__ C, cos kt-k'c sinkt, dt 将,和x的表达式代入原方程, Http://www.heut.edu.cn
例 3 验证:函数x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是微分 方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解. 解 sin cos , kC1 kt kC2 kt dt dx = − + cos sin , 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt dt d x = − − , 2 2 将 和x的表达式代入原方程 dt d x
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> k(C cos kt +C, sin kt)+k(C cos kt +C, sin kt)=0. 故x=C1cosk+C2sinM是原方程的解 dh = 0 t=0 2 dt t=0 所求特解为x= Acos kt 补充。微分方程的初等解法:初等积分法 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) Http://www.heut.edu.cn
( cos sin ) ( cos sin ) 0. 1 2 2 1 2 2 − k C kt + C kt + k C kt + C kt cos sin . 故 x = C1 kt + C2 kt是原方程的解 , 0, 0 0 = = = = t t dt dx x A , 0. C1 = A C2 = 所求特解为 x = Acoskt. 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 补充：