傅立叶变换的存在条件: (1)f(x)在(-0n+0)绝对可积; (2)f(x)在任意有限区间分段光滑。 3、利用定义求函数的傅立叶变换 例1求函数f(x)的傅立叶变换 sin ax f(x) (a>0 解 FI(xJ=FL sIn ax
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 傅立叶变换的存在条件： (1) f(x)在(-∞,+∞)绝对可积； (2) f(x)在任意有限区间分段光滑。 3、利用定义求函数的傅立叶变换 例1 求函数f(x)的傅立叶变换 sin ( ) ( 0) ax f x a x = 解： sin [ ( )] [ ] ax F f x F x =
iax e mix Too i(a-d)x i(a+A)x e x 2 too cos(a-1)x+isin(a-n)x-cos(a+n)x+isin(a+n)x dx 00 fix 2/t sin(a-n)x dx+ topsin(a+n)x x 2x 0 2x tosin(a-2)x dx+ too sin(a+n)x x 0 2x 0 2x
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 2 iax iax e e i x e dx ix − + − − − = ( ) ( ) 2 i a x i a x e e dx ix − − + + − − = cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 2 a x i a x a x i a x dx ix + − − + − − + + + = 0 0 0 0 sin( ) sin( ) 2 2 2 sin( ) sin( ) 2 2 a x a x dx dx x x a x a x dx dx x x + + + + − + = + − + = +
注意到: ,a>0 +oo sin ax 2 0 ,a<0 (1)若a>|λ|,则a->0且a+~>0,于是有: sIn ax FLf(x)= Fl 22 2)若a=||,则: 0.>0 2a.>0 a+1= 2a,1<0 0.<0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 注意到： 0 , 0 sin 2 , 0 2 a ax dx x a + = − (1) 若a>|λ|,则a-λ>0且a+λ>0，于是有： sin [ ( )] [ ] 2 2 ax F f x F x = = + = (2) 若a=|λ|,则： 0, 0 2 , 0 a a − = 2 , 0 0, 0 a a + =
所以: 0.>0 oo sin(a-n)x 1<0 2 0.<0 oo sin(a+a)x dx 0 X 1>0 2 于是得: sin ax,丌 FLf(x= Fl 2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 14 所以： 0 0, 0 sin( ) , 0 2 a x dx x + − = 于是得： 0 0, 0 sin( ) , 0 2 a x dx x + + = sin [ ( )] [ ] 2 ax F f x F x = =