§5.2微积分基本公式 、位置函数与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 自贝
一、位置函数与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿−−莱布尼茨公式 §5.2 微积分基本公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动,在时刻物体所经过的 路程为S(),速度为v=v()=S()(20),则在时间间隔[T12内 物体所经过的路程S可表示为 S(T)-S()及O0, 72 n(ot=S(2)-S() 上式表明,速度函数()在区间[71,21上的定积分等于v( 的原函数S()在区间[T1,T2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢? 首页返回下页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的 路程为S(t), 速度为v=v(t)=S(t)(v(t)0), 则在时间间隔[T1 , T2 ]内 物体所经过的路程S可表示为 一、位置函数与速度函数之间的联系 上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1 , T2 ]上的定积分等于v(t) 的原函数S(t)在区间[T1 , T2 ]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ ( ) ( ) S T2 −S T1 及 v t dt T T ( ) 2 1 , 即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt S T S T T T = − 即 . 首页
二、积分上限的函数及其导数 今积分上限的函数 设函数f(x)在区间[a,b上连续,x∈{a,b,我们称 f(x),或厂Oh 为积分上限的函数 定理1(积分上限函数的导数) 如果函数/()在区间a,b上连续,则函数(x=fx)k 在[a,b]上可导,并且 g(x)=f(dt=f( x x)(a≤x≤b).> 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、积分上限的函数及其导数 ❖积分上限的函数 设函数f(x)在区间[a, b]上连续, x[a, b], 我们称 f x dx x a ( ) , 或 f t dt x a ( ) 为积分上限的函数. •定理1(积分上限函数的导数) 如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 x f x dx x a ( ) ( ) = 在[a, b]上可导, 并且 ( ) f (t)dt f (x)(a x b) dx d x x a = = . 下页 >>>
例1设(x)在[0,+∞)内连续且(x)>0.证明函数 F(x) f(tdt 在(0,+∞)内为单调增加函数 证明因为 )(/0-f(x)0(tf(x)(x-)(M (0O2 6(on2 按假设,当0<x时f()>0,(x-1)f(4)>0,所以 f(>0,(x-0/()t>0 (M=y(x),(Oh=/(x) 首页 上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 例1 设f(x)在[0, +)内连续且f(x)>0.证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0, +)内为单调增加函数. 证明 因为 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . ( ) ( ) 0 tf t dt xf x dx d x = , ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x = ( ) ( ) . 0 tf t dt xf x dx d x = , ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x = . 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . 按假设, 当0tx时f (t)>0, (x−t)f (t)>0, 所以 ( ) 0 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x ( ) 0 , 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x , 下页
例1设(x)在[0,+∞)内连续且(x)>0.证明函数 F(x) f(tdt 在(0,+∞)内为单调增加函数 证明因为 )(/0-f(x)0(tf(x)(x-)(M (0O2 f())2 按假设,当0<1<x时f()>0,(x-1(1)>0,所以 f(>0,(x-0/()t>0 从而F(x)>0(x>0),因此F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 设f(x)在[0, +)内连续且f(x)>0.证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0, +)内为单调增加函数. 证明 因为 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . 按假设, 当0tx时f (t)>0, (x−t)f (t)>0, 所以 ( ) 0 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x ( ) 0 , 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x , 从而F (x)>0(x>0),因此F(x)在(0, +)内为单调增加函数. 下页