《高等数学》课程教学资源：第四章 不定积分（4.4）有理函数的积分

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§4.4 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 首页 上页 返回 下页 结束 铃

有理函数的积分 有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有 如下形式的函数: P( C0x+a1-x-1 +…+an1x+a (x) box+b,xm-++bm-jx+ n<m时,称这有理函数是真分式;而当n>m时,称这有理函数 是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如 x3+x+1x(x2+1)+ x2+1 x2+1 x2+1 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、有理函数的积分 •有理函数的形式 当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数 是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有 如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + ++ + + ++ + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) , 下页 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x

分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式 分解,然后化成部分分式再积分 例1求x+3 解 dx x+3 6 5 dx= )ax 5x+6 (x-2)(x-3) x-3x-2 dx dx=6Inx-3-5Inx-2+C xX x+ A,B_(A+B)x+(-2A-3B) (x-2)x-3)x-3x-2(x-2)(x-3) A+B=1,-2A-3B=3,.A=6,B=-5. 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示：   − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C. 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解, 则先因式 分解, 然后化成部分分式再积分. 解 例 例 1 1 求 − + + dx x x x 5 6 3 2 . 解  − + + dx x x x 5 6 3 2  − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3  − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 (  − + + dx x x x 5 6 3 2  − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3  − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 (  − + + dx x x x 5 6 3 2  − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3  − − − = dx x x ) 2 5 3 6 ( •分母可因式分解的真分式的不定积分 下页   − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C. A+B=1, −2A−3B=3, ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x , A=6, B=−5. ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x , ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x

分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式 分解,然后化成部分分式再积分 例2求(在 解 ldx x(x xx-1(x-1) =r-dx-fIrdx+f dx=lnlxl-In[x-1+C x -x+x x(x-1)2x(x-1)2x(x-1)(x-1)2 x+x x(x-1) 1)2xx-1(x-1) 页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 例 例 3 2 求 − dx x x 2 ( 1) 1 . 解   − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2 解   − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2 下页 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解, 则先因式 分解, 然后化成部分分式再积分. •分母可因式分解的真分式的不定积分 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − = − − + − − + =− x x x x x x x x .    − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1| .    − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1| . 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − = − − + − − + =− x x x x x x x x

分母是二次质因式的真分式的不定积分 例3求,3 2 x2+2x+3 解 2 dx 2x+2 x2+2x+3 2x2+2x+3x2+2x+3 1r2x+2 x-3 x 2Jx2+2x+3 x2+2x+3 1rd(x2+2x+3 X+ x2+2x+3(x+12+(√2)2 =n(x2+2x4 arctan+人1 +0 2 (2x+2)-3 x-2 x2+2x+3x2+2x+32x2+2x+3x2+2x+3 自 上页返回下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 例 例 2 3 求 + + − dx x x x 2 3 2 2 . 解  + + − dx x x x 2 3 2 2 dx x x x x x ) 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 ( 2 2 + + − + + + = dx x x dx x x x   + + − + + + = 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2   + + + − + + + + = 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 3 2 3 ( 2 3) 2 1 x d x x x d x x C x x x + + = + + − 2 1 arctan 2 3 ln( 2 3) 2 1 2 . 解  + + − dx x x x 2 3 2 2 dx x x x x x ) 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 ( 2 2 + + − + + + = •分母是二次质因式的真分式的不定积分 首页 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + −  + + − =  + + + − = + + − x x x x x x x x x x x . 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + −  + + − =  + + + − = + + − x x x x x x x x x x x . 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + −  + + − =  + + + − = + + − x x x x x x x x x x x