《高等数学》课程教学资源：第四章 不定积分（4.3）分部积分法

§4.3分部积分法 °分部积分公式 设函数=(x)及v=v(x)具有连续导数那么, (uvy=u'v+uv 移项得 =(v)-y 对这个等式两边求不定积分,得 ∫ntx=n-Jtx,或puhn=am-jvth 这两个公式称为分部积分公式 分部积分过程 Junv'dx=Judv=v-Jvdu=uv-Ju'vdx 自贝

§4.3 分部积分法 •分部积分公式 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么, (uv)=uv+uv , 移项得 uv=(uv)−uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 •分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式. 首页 上页 返回 下页 结束 铃   uv dx =uv− u vdx , 或  udv=uv− vdu ,   uv dx =uv− u vdx , 或  udv=uv− vdu ,  = = − = −  =      uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx=  .     uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx=  .     uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx=  .     uv dx udv uv vdu uv u vdx

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 151 xcosxdx=xd sin x=xsin xdr =x sin x+cos x+C 1512 xe dx= xde -xe -fe dx=xe -e +C dx=xide=x x xdex-2lxexdx x2ex-2xex+2le-ds -x2ex-2xex+2ex+C e(x2-2x+2)+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 =x sin x+cos x+C . 例2 例3 =x 2e x−2xex+2e x+C =e x (x 2−2x+2 )+C.  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 1    例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx    例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx    例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx    xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − +    . 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 下页

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 例4kx=血m 2 In x cdx Inx-x+C 15 5 Jarccosxdx =xarccosx-xd arccos arccos+x xarc cosx 2J4-x2)2-x2 xarccosx-v1-x+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 例5  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x−  xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x−  xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 5   arccosxdx = xarccosx− xd arccosx dx x x x x − = + 2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2 = x x− −x d −x  − = x x− −x +C 2 arccos 1 . 例 5   例 5 arccosxdx = xarccosx− xd arccosx   arccosxdx = xarccosx− xd arccosx 下页

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 195][arctanxdx=1 arctanxdx x2arctanx-1(x2.,dx 1+x arctan )dx 1+x 2 arctanx-xto arctan+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 6   = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx  + = −  dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1  + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 = x x− x+ arctanx+C 2 1 2 1 arctan 2 1 2 . 例 6   = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx  + = −  dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1  + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 下页

分部积分过程:Jntx=ah=n-Jv=m-md= 例7求 Je- sin xdx 解因为 Je sin xdx= sin xde -e sinx-Je'dsinx esinx-le cosxdx =e- sin x-cosxde exsinx-ex cosx+exdcosx exsinx-ex cosx+led cosx =e sinx-e cosx-Je sin xdx 所以 e- sin xdx=le(inx-cosx)+C 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 因为 例 例 7 7 求 e xdx x sin  .    e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin   = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde  =e x−e x+ e d x x x x sin cos cos  =e x−e x+ e d x x x x sin cos cos  =e x−e x− e xdx x x x sin cos sin , 所以 e xdx e x x C x x = − +  (sin cos ) 2 1 sin .    e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin    e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin   = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde  = = − = −  =      分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 下页