§5.4反常积分 、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 自
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 §5.4 反常积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、无穷限的反常积分 今无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分定义为 nf(x)dx=lm「f(x)x b→+∞a 在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常 积分收敛,否则称此反常积分发散 类似地,连续函数f(x)在区间(-∞,b上和在区间(-∞,+∞) 的反常积分定义为 n f()dx= lim f(x)dx C+OO f(x)dx= lim f(x)dx+ lim of(x)dx b 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x dx f x dx b a b a ( ) lim ( ) →+ + = 一、无穷限的反常积分 ❖无穷限的反常积分的定义 在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常 积分收敛, 否则称此反常积分发散 连续函数f(x)在区间[a, +)上的反常积分定义为 下页 类似地, 连续函数f(x)在区间(−, b]上和在区间(−, +) 的反常积分定义为 f x dx f x dx f x dx b b a a ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 →− →+ + − = + f x dx f x dx b a a b ( ) lim ( ) − →− =
、无穷限的反常积分 今无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分定义为 nf(x)dx=lm「f(x)x b→+0 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数,则有 f(x)dx=lim f(x)dx= lim [F(x)6 b-)+ b-+00 lim F(6)-F(a=lim F(x)-F(a) b-+0 可采用如下简记形式: f(x)dx=[F(x)Id=lim F(x)-F(ay x→)+ 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x dx f x dx b a b a ( ) lim ( ) →+ + = 一、无穷限的反常积分 ❖无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, +)上的反常积分定义为 •反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有 f (x)dx [F(x) ] lim F(x) F(a) x a a = = − →+ + + b a b b a b a f (x)dx lim f (x)dx lim [F(x)] →+ →+ + = = lim F(b) F(a) lim F(x) F(a) b x = − = − →+ →+ 可采用如下简记形式： b a b b a b a f (x)dx lim f (x)dx lim [F(x)] →+ →+ + = = lim F(b) F(a) lim F(x) F(a) b x = − = − →+ →+
、无穷限的反常积分 今无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分定义为 nf(x)dx=lm「f(x)x b→+0 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数,则有 f(x)dx=lF(xl= lim F(x)-F(a x→)+ 类似地,有 f(x)dx=[F(x)]o=F(b)-lim F(x) x→-00 Imf(xdx=[F(x)J+=lim F(x)-lim F(x) 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x dx f x dx b a b a ( ) lim ( ) →+ + = 一、无穷限的反常积分 ❖无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, +)上的反常积分定义为 •反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有 f (x)dx [F(x)] lim F(x) F(a) x a a = = − →+ + + 类似地, 有 f (x)dx [F(x)] F(b) lim F(x) x b b →− − = − = − , f (x)dx [F(x) ] lim F(x) lim F(x) x→+ x→− + − + − = = − 下页
注解 1、无穷限的广义积分实质上是任意有限区间上定积分之极限 2.∫()x收敛等价于 fx)d与jf()k 同时收敛,即 了(x)dx= lim Iim I()kx 这里的a、b是任意的,不可仅考虑极端情况a=-b 因此,如果lmj(x有在,并不能断言T/(x)d收皱 ∫ f(x)dx=F(xloo= lim F(x)lim F(x) x→>+00 x→-00 例1计算反常积分1d 解「1=a arctan ∞1+x lim arctan- lim arctanx y=,1 1+x x→)+00 x→-00 O b x 返回 页结東
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 1 计算反常积分 dx x 2 1 1 + + − 例1 下页 f (x)dx [F(x) ] lim F(x) lim F(x) x→+ x→− + − + − = = − = − − )= 2 ( 2 解 + − + − = + [arctan ] 1 1 2 dx x x x x x x lim arctan lim arctan →+ →− = − 解 + − + − = + [arctan ] 1 1 2 dx x x