§53定积分的换元法和分部积分法 、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 自贝
§5.3 定积分的换元法和分部积分法 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
、定积分的换元法 今定理 假设函数f(x)在区间[a,b上连续,函数x=g(1)满足条件 (1)(a)=a,(B)=b; (2)((0)在[a,例或[B,a)上具有连续导数,且其值域不越 出a,b],则有 (x)=D(O)p(.一换元公式 上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、定积分的换元法 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x=(t)满足条件: (1)(a)=a,()=b; (2)(t)在[a, ](或[, a])上具有连续导数, 且其值域不越 出[a, b], 则有 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( ) a = 定理证明 ❖定理 ——换元公式. 下页
(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例1计算√a2-x2dx(a>0) 解 xdx 今x= aint2 acost acos stdt 2兀 2 2 cos tdt=2(+cos2)dt It+sin 2t12=no Vat-x2=vat-ausinit=acost, dx=acostdt 当x=0时t=0,当x=a时t=x. 首页上页返回结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 − = 2 0 sin 0 2 2 cos cos a x dx a t a tdt 解 a 令x a t 例 1 计算 − a a x dx 0 2 2 例1 (a>0) 提示： a x a a sin t acost 2 2 2 2 2 a − x = a −a sin t =acost , dx=acostdt 2 2 2 2 2 − = − = , dx=acostdt = = 2 + 0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a = + = = = 2 + 0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a = + = f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( ) a 令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 下页 − = 2 0 sin 0 2 2 cos cos a x dx a t a tdt a 令x a t − = 2 0 sin 0 2 2 cos cos a x dx a t a tdt a 令x a t 当 x=0 时 t=0, 当 x=a 时 2 t=
(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例2计算[2 coS xsin xdx 解 2 coS xsin xdx=-12 coS xd cosx 令cosx=t , rdt=5 或 coSxSInxax cos xa cosx cOSx 2 COS-+-COS 0 26 换元一定要换积分限,不换元积分限不变 首页 上页返回 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0 例2 解 cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− 6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + = x 6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + = x 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− 或 提示： 当 x=0 时 t=1, 当 2 x= 时 t=0 f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( ) a 令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 换元一定要换积分限,不换元积分限不变 下页
(x)h==l((当x=a时=a,当x=b时 例3计算√smx-sm3xdh 解「si3x-sin3xdk= Tsin2 x cosd 3 2 sin 2 xcosxdx- sin 2 xcosxdx 3 =2 sin 2 xd sin x-sin 2 xdsinx 小 vsin3x-sin5x=sin 3x(I-sin2x)=sin 2 xlcosxl 在0互上cosx=cosx,在[,z]上cosx=cosx 首页页返回结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 例 3 3 计算 − 0 3 5 sin x sin xdx sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5 − = sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5 − = = − 2 2 3 2 0 2 3 sin xcosxdx sin xcosxdx = − 2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x 提示： sin sin sin (1 sin ) sin |cos | 2 3 3 5 3 2 x− x = x − x = x x 在 ] 2 [0, 上|cos x|=cos x, 在 , ] 2 [ 上|cos x|=−cos x f x dx f t t dt b x t a ( ) [ ( )] ( ) ( ) a 令 = (当 x=a 时 t=a, 当 x=b 时 t=) 下页