《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分性质

令T=T'+T"(T表示把T'与T"的所有分割点合 并而成的新分割)，则 =sup (f(x)g(x)-f(x)g(x")x,x"A} ≤sup{g(x)f(x)-f(x) +fx)gx)-gx"x,x"e△} ≤Mo,+Mo. 于是∑Ac≤M∑A+M∑A ≤M∑Ax,+M∑oAx 前页 返回

前页 后页 返回 令T = T + T ( T T T 表示把   与 的所有分割点合 并而成的新分割 ), 则 sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,  Δ  fg i i  = −  f x g x f x g x x x        − sup ( ) ( ) ( )  g x f x f x    + −  f x g x g x x x ( ) ( ) ( ) ,      Δi . g i f  Mi + M 于是    +  T i g i T i f i T i fg i x M  x M  x       +  T i g i T i f M i x M  x

<M +M 2M 2M 因此fg在[a,b小上可积. 性质4f在a,b上可积的充要条件是：Vc∈(a,b), f在[a,c与[c,b上都可积.此时且有 J心fxdc=j后fxd+fxdr 证（充分性）若f在[a,c与[c,b小上可积，则 Vε>0,3[，c与c,b]上分割T'与T",使得 前页

前页 后页 返回 . 2 2     + = M M M M f a c c b 在 与 上都可积. 此时且有 [ , ] [ , ] ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = +        0, [ , ] [ , ] , a c c b T T 与 上分割 与 使得   因此 f g 在 [ a, b] 上可积. 性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b), 证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则

Σai∑oa< 令T=T'+T”,它是[a,b的一个分割， ∑oAg-∑aA￥+∑oAc<e, 因此，f在[4，b]上可积 (必要性)已知f在[a,b]上可积，则Hε>0,3T, 使∑o,△x:<&.在T上加入分点c得到新的分割T 由§3习题第1题，知道 返回

前页 后页 返回 . 2 , 2           T i i T ixi x 令 它是 的一个分割 T T T a b = + , [ , ] ,  =   +   .  T i i T i i T ixi x x (必要性) 已知 在 上可积 则 f a b T [ , ] , 0, ,     因此, f 在 [a, b] 上可积. Δ . i i T 使   x  在T上加入分点 c 得到新的分割 T .  由§3习题第1题, 知道